La somme des n premiers carrés

Posted on 24/01/201020/12/2022 by The Dude

La formule pour calculer la somme des $n$ premiers entiers est : $s = \frac{n (n + 1)}{2}$ Je vous épargne l’histoire, bien connue, du jeune Carl Friedrich Gauss et de sa sommation des 100 premiers entiers… alors qu’il était en sixième année. La technique employée pour retrouver cette formule est bien connue. On somme $s = 1 + 2 + 3 + \dots + (n - 2) + (n - 1) + n$ On permute chacun des termes $s = n + (n - 1) + (n - 2) + \dots + 3 + 2 + 1$ Il suffit ensuite d’additionner ces équations terme à terme $2 s = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + \dots + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)$ Il y a en outre $n$ fois ces termes $(n + 1)$ et en divisant par $2$ on obtient $s = \frac{n (n + 1)}{2}$ Moins connue est la formule pour calculer la somme des n premiers carrés. Ou peut-être je m’exprime mal : la formule en elle-même est connue et, dans la plupart des livres, on fournit même une preuve de sa validité en utilisant le principe d’induction. Or, pour ce type de preuve, il faut connaître la formule au départ. Ça prend beaucoup d’intuition pour trouver, en jonglant avec quelques nombres $S = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ Une façon d’y arriver est de considérer les sommes des cinq premiers carrés, $1$ , $5$ , $14$ , $30$ , $55$ . On trouve que les accroissements entre les accroissements entre les accroissements entre deux carrés consécutifs sont constants, ce qui est caractéristique d’une fonction polynomiale de degré trois. En utilisant quatre des ces sommes et en résolvant le système d’équations, on trouve ladite fonction. Par la suite, il suffit de prouver, par induction, sa validité pour $n \in N$ . Je vous propose une autre façon de procéder, plus élégante.

Mais d’abord un petit préambule. Nous allons commencer avec la preuve d’une autre formule, celle de la somme des $k$ premiers impairs, qui utilise, en quelque sorte, la même stratégie.

La somme des $k$ premiers impairs

En étudiant les différences des carrés de nombres entiers successifs suivantes $\begin{aligned} 1^{2} - 0^{2} & = 1 \\ 2^{2} - 1^{2} & = 3 \\ 3^{2} - 2^{2} & = 5 \\ 4^{2} - 3^{2} & = 7 \\ 5^{2} - 4^{2} & = 9 \\ \dots \end{aligned}$ quelque chose de remarquable apparait ! D’une part, on génère la suite des nombres impairs à droite, d’autre part ces différences de carrés sont égales à la somme des nombres entiers consécutifs considérés $\begin{aligned} 1 + 0 & = 1 \\ 2 + 1 & = 3 \\ 3 + 2 & = 5 \\ 4 + 3 & = 7 \\ 5 + 4 & = 9 \\ \dots \end{aligned}$ En général, si on pose $k^{2} - (k - 1)^{2}$ (donc le carré de l’entier $k - 1$ et le carré de l’entier immédiatement supérieur $k$ ) on obtient $k^{2} - (k^{2} - 2 k + 1)$ ce qui donne $2 k - 1$ ou $k + (k - 1)$ C’est bien un nombre impair : que $k$ soit pair ou impair, $2 k - 1$ est impair. Et c’est aussi bien la somme des deux nombres entiers consécutifs $(k - 1) + k$ .

Quel est la somme des $k$ premiers impairs ? On pose $i = 2 k - 1$ et on somme ces égalités jusqu’au $k$ -ième impair $\begin{aligned} 1^{2} - 0^{2} & = 1 \\ 2^{2} - 1^{2} & = 3 \\ 3^{2} - 2^{2} & = 5 \\ 4^{2} - 3^{2} & = 7 \\ 5^{2} - 4^{2} & = 9 \\ \dots \\ k^{2} - (k - 1)^{2} & = i \end{aligned}$ On obtient, à gauche et à droite : $- 0^{2} + 1^{2} - 1^{2} + 2^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 3^{2} + \dots + (k - 1)^{2} - (k - 1)^{2} + k^{2} = 1 + 3 + 5 + 7 + \dots + i$ Tous ces termes s’annulant deux-à-deux, sauf le dernier, et c’est là la beauté de la chose, on obtient simplement $k^{2} = 1 + 3 + 5 + 6 + \dots + i$ La somme recherchée, celle des $k$ premiers impairs, est donc égale au carré de $k$ .

La somme des $n$ premiers carrés

Procédons de façon analogue pour trouver la formule de la somme des $n$ premiers carrés. On commence par développer $(n + 1)^{3} = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1$ Et puisque $\begin{aligned} 1 & = 0 + 1 \\ 2 & = 1 + 1 \\ 3 & = 2 + 1 \\ 4 & = 3 + 1 \end{aligned}$ et qu’en général, évidemment, $n = (n - 1) + 1$ on remarque que $\begin{aligned} 1^{3} & = 0^{3} + 3 (0)^{2} + 3 (0) + 1 \\ 2^{3} & = 1^{3} + 3 (1)^{2} + 3 (1) + 1 \\ 3^{2} & = 2^{3} + 3 (2)^{2} + 3 (2) + 1 \\ 4^{3} & = 3^{3} + 3 (3)^{2} + 3 (3) + 1 \\ \dots \\ n^{3} & = (n - 1)^{3} + 3 (n - 1)^{2} + 3 (n - 1) + 1 \\ (n + 1)^{3} & = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 \end{aligned}$ Nous allons maintenant additionner ces égalités terme à terme. À gauche, on obtient la somme des $n + 1$ premiers cubes. À droite on obtient $4$ termes :

La somme des $n$ premiers cubes

Trois fois la somme des $n$ premiers carrés (ce qui, en particulier, nous intéresse)

Trois fois la somme des $n$ premiers entiers

$n + 1$ (et non pas seulement $n$ )

Ensuite, quatre choses plutôt qu’une :

Les $n$ premiers cubes se simplifient, il reste seulement le cube de $n + 1$ à gauche

La somme des $n$ premiers carrés étant ce qui nous intéresse, nous appellerons cette somme $S$

La somme des $n$ premiers entiers est connue, c’est $\frac{n (n + 1)}{2}$

$n + 1$ est simplement $n + 1$

En tenant compte des points mentionnés ci-dessus, on obtient $(n + 1)^{3} = 3 S + 3 (\frac{n (n + 1)}{2}) + n + 1$ puis en développant $n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 = 3 S + \frac{3 n^{2} + 3 n}{2} + n + 1$ Enfin, en isolant $3 S$ , qui inclut la somme qui nous intéresse, $3 S = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 - (\frac{3 n^{2} + 3 n}{2}) - (n + 1)$ En multipliant par $2$ , on obtient $6 S = 2 n^{3} + 6 n^{2} + 6 n + 2 - 3 n^{2} - 3 n - 2 n - 2$ et en simplifiant le tout $6 S = 2 n^{3} + 3 n^{2} + n$ La formule recherchée se dévoile. On effectue d’abord la mise en évidence simple $6 S = n (2 n^{2} + 3 n + 1)$ et ensuite la factorisation du trinôme $6 S = n (n + 1) (2 n + 1)$ Enfin, en divisant par $6$ , on obtient la formule recherchée $S = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

12 thoughts on “La somme des n premiers carrés”

Missmath says:

28/01/2010 at 20:18

Comme j’aime ton blogue.
Benass says:

07/03/2018 at 11:49

C’est beau !
J’avais retrouvé le résultat différemment en partant du fait que c’était un polynôme 3 puis en cherchant les coefficient en utilisant le fait que la somme des n+1 premiers carrés moins la somme des n premiers est égale à (n+a) 2 autrement dit a(n+1)^3+b(n+1)^2+c(n+1)+d-(an^3+bn^2+cn+d)=(n+1)^2

Par là même j’ai trouvé la formule de la somme des cubes, cependant elle est si peu simple que ça doit être possible de la trouver autrement
Benass says:

07/03/2018 at 11:50

Si simple *
Luca Lani says:

24/10/2018 at 07:35

trop cool !!
olivier says:

23/05/2021 at 13:19

Bonjour j’aurais aimé savoir si d’après vous il serait possible de calculer la somme des n premier carrés à partir d’une valeur X donnée qui serait supérieure à 1. Par exemple à partir de X = 8* 8 = 64…

Cela donnerait encore plus d’intérêt dans l’exploitation de cette formule.

Par ailleurs pensez-vous que l’on pourrait faire la même chose pour la différence des n premiers carrés à partir d’une valeur X donnée ?

En vous remerciant,
The Dude says:

23/05/2021 at 16:40

Bonjour Olivier,

Je ne sais pas si je comprends bien le commentaire, mais si oui, pour calculer la somme des carrés jusqu’au n-ième carré à partir du x-ième carré, il suffirait se soustraire la somme des (x-1)-ième premiers carrés à la somme des n premiers carrés.

Ex : (1/6)*n*(n+1)(2n+1) – (1/6)*(x-1)*(x)*(2x-1)
rocca says:

24/05/2021 at 04:52

Bonjour Mister Dude,

Oui pour la première partie de la question c’est exactement cela. Donc votre réponse est tout à fait correcte et je vous en remercie.

Pour la seconde partie de la question, je m’interrogeais afin de savoir si cette formule qui somme les n premiers carrés (x²+y²… = z) pourrait également s’appliquer dans un cas opposés (y²-x²… = z) afin de faire la différence des n derniers carrés.

En fait je travaille actuellement sur une question voisine, qui vise à savoir s’il existerait une formule qui à partir de tout entier N pair et multiple de 4, permettrait de calculer le nombre carré à ajouter à N afin de produire une somme qui soit un autre nombre carré. Cela revient à dire :

On connaît N, entier
On cherche a et b, entiers, pour faire en sorte que N+ a² = b²

Et donc : N = b² – a²
et
N = (b – a) * (b + a)

Bon évidemment si on connaît les diviseurs de N, il suffit d’utiliser le couple de diviseurs adéquats afin de produire cette différence de carrés, mais je me demandais si votre formule de calcul aurait également pu fonctionner à l’envers afin de faire la différence des n derniers carrés…
The Dude says:

27/05/2021 at 18:17

Bonjour,

Je ne sais pas si je serai d’une grande aide…

Je sais que si le nombre est impair, alors il peut s’écrire comme $N = 2 k + 1$ et $2 k + 1 = (k + 1)^{2} - k^{2}$ qui sont deux carrés consécutifs.

Si $N$ est un multiple de $4$ , alors $N = 4 (k + 1)$ . Or $4 (k + 1) = 4 k + 4 = (k + 2)^{2} - k^{2}$

Si $N$ n’est pas un multiple de $4$ , c’est impossible. Disons que $N$ est pair mais pas un multiple de 4. $n = a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ Si $N$ est pair, $a + b$ ou $a - b$ est pair, mais pas les deux. Disons que $a + b$ est pair, alors $a$ et $b$ sont tous les deux pairs ou $a$ et $b$ sont tous les deux impairs. Or, si $a$ et $b$ sont tous les deux pairs $a - b$ est pair aussi et le nombre original est donc divisible par $4$ . Si $a$ et $b$ sont tous les deux impairs, alors $a - b$ est pair aussi et le nombre original est divisible par $4$ . Dans les deux cas, c’est une contradiction. On peut faire le même raisonnement en supposant $a - b$ pair et en obtenant encore une fois deux contradictions.

Je me rends compte que vous savez sûrement déjà tout cela et je n’ai pas fait le lien avec ma formule. Je ne sais pas trop comment m’y prendre. En revanche, considérez ceci (pour être franc je ne me rappelle plus où j’ai lu cela mais si je retrouve la source, je vais la joindre) : on factorise le nombre. On compte le nombre de facteurs $2$ . S’il n’y en a qu’un seul, ça ne fonctionne pas. S’il y a en zéro ou plusieurs, on fabrique deux facteurs de $N$ , les deux pairs (si le nombre est un multiple de $4$ ) ou les deux impairs. On calcule la différence et on divise cette différence par $2$ (si les deux facteurs sont pairs, la différence est paire, si les deux facteurs sont impairs, la différence est paire aussi). On élève au carré. C’est le premier carré. On additionne ce carré à $N$ : c’est le deuxième carré !

Ex : $3 168$ . Je factorise : $3 168 = 2^{5} \times 3^{2} \times 11$ . Il y a plus d’un facteur $2$ .

Je peux utiliser $2^{3} \times 3 = 24$ et $2^{2} \times 3 \times 11 = 132$ . Je calcule la différence $132 - 24 = 108$ . Je divise par deux : $108 \div 2 = 54$ . J’élève au carré $54^{2} = 2 916$ . Je calcule $3 168 + 2 916 = 6 084 = 78^{2}$ . On a donc $3 168 = 78^{2} - 54^{2}$ Par ailleurs, si on avait pris $2 \times 3^{2} = 18$ et $2^{4} \times 11 = 176$ , on aurait obtenu $176 - 18 = 158$ et $158 \div 2 = 79$ . Puisque $79^{2} = 6 241$ , on obtient $3 168 + 6 241 = 9 409 = 97^{2}$ $3 168 = 97^{2} - 79^{2}$ Un autre couple nous aurait donné une autre différence. Je vous laisse voir pourquoi :-)

Au plaisir !
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Ikram says:

24/09/2022 at 15:46

4(n+1) au carré +n au carré
sidky abdellatif says:

02/09/2023 at 18:22

je suis pas matheux
mais je cherche a démontrer que la somme des ( n ) premiers nombres premiers est égale(n) au carrée
1+2+3+5+7= 5 au carrée…….
1+2+3= 3 au carrée
1+2+3+5=4 au carrée
!!!!!
The Dude says:

05/09/2023 at 10:37

Bonjour Abdellatif,

Il s’agit plutôt de la somme des $n$ premiers nombres impairs, plutôt que premiers.

Sans entrer dans la discussion à savoir si 1 est premier ou pas, autrement, ça tombe au prochain exemple :
1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 = 27 (ce n’est pas un carré)
Sachant que 1 n’est pas considéré comme premier, on a quand même :
2 + 3 + 5 + 7 + 9 = 26 (ce n’est pas plus un carré)

La preuve que vous cherchez est dans l’article : il s’agit de la première partie intitulée « La somme des $k$ premiers impairs ».

Sinon, je vous laisse contempler l’image suivante :

La somme des k premiers impairs

La somme des n premiers carrés

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