Monsieur, je n’ai pas mon rapporteur d’angle !

Tu as ta règle ? Alors pas de problème ! Sur chacun des côtés de l’angle, marque un trait à $60$ millimètres du sommet. Mesure ensuite la distance en millimètres entre les traits et voilà ! Tu as (une approximation parfaitement acceptable de) la mesure de ton angle en degrés ! Génial ?Pourquoi est-ce que ça fonctionne ? On considère un angle $\alpha$ et on procède tel qu’indiqué. En marquant les côtés de l’angle à la même distance (ici, $60$ millimètres), on dessine un triangle isocèle. Et comme c’est un triangle isocèle, la bissectrice de l’angle $\alpha$ sera aussi une médiatrice.Ainsi, en n’oubliant pas que $$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}$$on observe la relation suivante dans les triangles rectangles formés par la bissectrice/médiatrice $$\sin (\frac{\pi }{180}\cdot \frac{\alpha }{2})=\frac{\frac{s}{2}}{60}$$et dans laquelle $\alpha$ est exprimé en degrés. De $$\sin \left(\frac{\pi }{360}\alpha \right)=\frac{s}{120}$$on utilise maintenant deux approximations si grossières qu’elles vous feront perdre, peut-être, tout espoir d’obtenir une expression utile au final. Et pourtant ! D’abord, pour de petits angles (exprimés en radian), on a $$\sin \left(\theta \right)\approx \theta$$ce qui donne comme première approximation $$\frac{\pi }{360}\approx \frac{s}{120}$$et en utilisant (ma parole !) $$\pi \approx 3$$on obtient ensuite $$\frac{3}{360}\alpha \approx \frac{s}{120}$$C’est donc avec un certain scepticisme qu’on retrouve effectivement $$\alpha \approx s$$Est-ce que l’approximation est fiable ? Le graphique suivant montre la relation entre $\alpha$ (abscisses) et $\alpha -s$ (ordonnées).

On remarque que pour des angles entre $0^{\circ }$ et (environ) ${75}^{\circ }$, l’erreur est de moins de $2^{\circ }$. Pas mal ! Après ${75}^{\circ }$, ça se gâte un peu, et l’erreur culmine avec un maximum d’environ $5^{\circ }$ lorsque l’angle est près d’un angle droit. Cependant, toutes proportions gardées, l’erreur de $5^{\circ }$ reste quand même relativement petite pour cette approximation très économique.

On peut se demander si $60$ a quelque chose de particulier, s’il existe des mesures qui donnent de meilleures approximations. En marquant l’angle à $62$ millimètres au lieu de $60$, on semble améliorer les choses : on s’assure que l’erreur maximale ne dépasse pas environ $2,4^{\circ }$ (au lieu d’un peu plus de $5^{\circ }$ comme c’est le cas ici avec $60$ millimètres). Bien que $62$ millimètres offrent une meilleure garantie sur l’erreur maximale (qu’importe l’angle, c’est moins de $2,4^{\circ }$), on se rend compte que la plupart des angles sont moins précis en utilisant cette mesure. En d’autres mots, avec $62$ millimètres, l’erreur maximale est plus petite mais l’erreur moyenne est plus grande.  En fait, la mesure qui offre la plus petite erreur moyenne est… $60$ millimètres. Excellent.

En gardant notre mesure de $60$ millimètres pour minimiser l’erreur moyenne, peut-on améliorer notre approximation sans trop compliquer les choses ? Kowalski [1], dans son article, propose d’utiliser une règle simple : en bas de ${60}^{\circ }$, on soustrait $1$, en haut de ${60}^{\circ }$ on ajoute $2,5$. $$\text{Approx}=\{\begin{array}{ll}s-1& \text{ si }\alpha <{60}^{\circ }\\ s& \text{ si }\alpha ={60}^{\circ }\\ s+2,5& \text{ si }\alpha >{60}^{\circ }\end{array}$$

En bleu, α – s avec ajustement.

Référence : [1] Travis Kowalski,  College Mathematics Journal, Volume 39, Number 4, September 2008 , pp. 273-279