Érudit anonyme

Trouvé sur un tableau du Mathematical Sciences Research Institute à Berkeley, California, et écrit par un érudit anonyme qui possède un sens de l’humour très fin.

Résoudre pour $x$ : $$x=ax+b$$

Solution : On remplace $x$ par l’expression qui lui est égale $$\begin{array}{rl}x& =ax+b\\ \\ & =a(ax+b)+b=a^{2}x+ab+b\\ \\ & =a^2(ax+b)+ab+b=a^{3}x+a^{2}b+ab+b\\ \\ & =a^3(ax+b)+a^{2}b+ab+b=a^{4}x+a^{3}b+a^{2}b+ab+b\\ \\ & \dots \\ \\ & \text{On suppose |a|<1}\\ \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^{n}x+b\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^i\end{array}$$Et en exprimant la série géométrique infinie en forme fermée, on obtient $$\begin{array}{rl}x& =0\cdot x+b\cdot \frac{1}{1-a}\\ \\ & =\frac{b}{1-a}\end{array}$$Ce résultat tient par prolongement analytique pour tout $a\ne 1$.

Référence : soumis par James Propp, University of Massachusetts Lowell,

Mathematics Magazine, Volume 86, Number 3, June 2013