Après avoir étudié la question des nombres pouvant s’exprimer comme une différence de carrés, la suite évidente et très naturelle est celle-ci :
Quels nombres peuvent s’écrire comme une somme de carrés ?
La réponse, dans ce cas-ci, est beaucoup plus difficile que précédemment. Heureusement pour nous, les nombres exprimés comme une somme de carrés sont un résultat classique de la théorie des nombres exposé dans tout bon livre sur le sujet.
Un nombre peut s’écrire comme une somme de carrés strictement positifs si ne comporte pas, dans sa factorisation première, un facteur premier de la forme élevé à une puissance impaire et si n’est pas une puissance de élevée à un exposant pair.
Petite remarque préliminaire : je dois avouer que j’ai réfléchi pendant un bon moment à comment présenter une démonstration élémentaire de ce résultat qui serait accessible à des élèves ou des étudiants et qui serait contenue dans une seule publication sur ce blogue. Comme je ne suis pas satisfait du résultat, la démonstration demeurera, pour l’instant, au statut de brouillon, et fera l’objet d’une autre publication plus tard. Le lecteur sceptique peut néanmoins consulter ces références en attendant : [1], [2], [3] et [4].
Une pièce importante du casse-tête est celle-ci, due à Fermat : tout nombre premier de la forme peut s’exprimer comme une somme de carrés d’une façon unique. Les nombres premiers de la forme , quant à eux, ne peuvent pas s’exprimer comme une somme de carrés. Il reste le nombre premier qui ne fait partie ni de la première catégorie ni de l’autre, mais puisque le nombre premier a sa propre représentation en somme de carrés. La table de valeurs suivante consigne les sommes de carrés uniques pour tous les nombres premiers de la forme (ainsi que pour ) avec [5].
La deuxième pièce importante du casse-tête est l’identité de Diophante (parfois aussi appelée l’identité de Brahmagupta–Fibonacci) : Cette identité nous permet d’exprimer un produit de sommes de carrés en une somme de carrés Il apparait donc possible de calculer la factorisation première d’un nombre, puis, si les facteurs premiers sont de la bonne forme, d’exprimer, en plusieurs étapes au besoin, les produits de facteurs premiers en sommes de carrés.
Le lecteur aguerri aura peut-être remarqué qu’il est aussi possible d’obtenir cette identitéEn général, il est donc possible d’exprimer le produit de deux sommes de carrés en deux sommes de carrés différentes. Par exemple, Le nombre s’écrit donc de deux façons différentes comme une somme de carrés Notons enfin qu’il est possible d’éviter d’utiliser la deuxième identité et de n’utiliser que la première car, en réalité, on obtient le même résultat en échangeant et dans la première (une simple manipulation algébrique convainc). En reprenant l’exemple numérique de , on obtient
Petit détail concernant . Dans ce cas (ou , peu importe) et cela ne génère pas deux sommes différentes. Par exemple, Il est aussi inutile d’utiliser l’identité de Diophante si les deux nombres premiers sont
La dernière pièce du casse-tête vient du fait que si alors avec une simple mise en évidence. Ainsi, un nombre peut posséder dans sa factorisation première des facteurs premiers de la forme , si ceux-ci sont présents un nombre pair de fois chacun.
On considère un nombre dans lequel est le produit des facteurs premiers de la forme (tous nécessairement présents un nombre pairs de fois) et , , … , sont les facteurs premiers de la forme . Le facteur a sa place particulière dans cette factorisation. On calcule . Si est pair, il y a sommes de carrés possibles. Si est impair, cela implique que chaque facteur est présent un nombre pair de fois (il pourrait même être possible qu’il n’y ait aucun facteur de la forme et dans ce cas on poserait , , … , , et on obtiendrait ). Si est pair aussi, le nombre est un carré et il y a sommes de carrés possibles. Si est impair, alors il y a sommes de carrés possibles. [6]
Corollaire : si est une puissance de , alors il y a une seule façon de l’exprimer comme une somme de carrés si l’exposant est impair et aucune façon si l’exposant est pair.
Considérons enfin ces quelques exemples numériques.
La factorisation première de étant , et on constate qu’un facteur premier de la forme , dans ce cas précis, , est présent un nombre impair de fois. Le nombre ne peut donc pas s’exprimer comme une somme de carrés.
La factorisation première de est . Dans ce cas, le nombre premier de la forme , soit , est présent un nombre pair de fois. Le nombre premier est un nombre premier de la forme . On peut donc écrire Il n’y aura donc qu’une seule façon () d’écrire le nombre comme une somme de carrés.
La factorisation première de est . Il y a trois facteurs premiers de la forme affectés d’un exposant et cela implique qu’il y aura sommes différentes. D’abord, on note que
La factorisation première de est . Le seul facteur de la forme , , est présent un nombre pair de fois alors que le facteur est présent un nombre impair de fois. Il y a donc façons d’exprimer comme une somme de carrés.
[1]Hardy, Godfrey H. et Edward M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 2008, Oxford University Press, 6e édition
[2]Niven, Ivan, Herbert S. Zuckerman et Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 1991, Wiley, 5e édition
[3]Andrews, George E., Theory of Numbers, 1994, Dover
[4]Mathologer, Why was this visual proof missed for 400 years? (Fermat’s two square theorem), https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk
[5]Charles Hermite propose l’algorithme suivant (qu’on énonce sans démonstration) : Pour trouver et tels que où est de la forme , on trouve le plus petit tel que puis on applique l’algorithme d’Euclide à et et on s’arrête dès qu’on obtient deux nombres et inférieurs à . Hermite à montré que ces et sont ceux qu’on cherche. Par exemple, pour , on trouve que le plus petit pour lequel est car On applique ensuite l’algorithme d’Euclide avec et . On s’arrête dès que les nombres sont inférieurs à .Voilà ! On constate que
[6] Weisstein, Eric W., Sum of Squares Function, From MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html