Une vie entière en moins d’une heure…

Archimède a été le premier mathématicien à donner une estimation relativement précise de la valeur de $\pi$, le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre.  En coinçant le cercle entre des polygones réguliers inscrits et circonscrits à $12$, $24$, $48$ et finalement $96$ côtés, et en utilisant les périmètres de ces polygones, il a réussit à coincer la valeur de $\pi$ $$3,1408\approx 3\frac{10}{71}<\pi <3\frac{1}{7}\approx 3,1429$$ce qui confère à son estimation deux décimales de précision, remarquable pour l’époque !  Chaque itération de cette méthode amène une nouvelle racine carrée, si bien que l’estimation de $\pi$ d’Archimède mène à l’expression suivante,  très belle mais très peu pratique :$$\pi \approx 48\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}$$Autant de racines à calculer à la main est un vrai cauchemar.  Et pendant des centaines d’années, aucune amélioration notable de la méthode n’a été trouvée et aucune autre méthode efficace inventée.  La méthode d’Archimède, longue et fastidieuse, manipulée par des esprits pour le moins patients, donne cependant lentement de meilleurs résultats au prix de calculs (à la main) d’une longueur sans mesure !  François Viète (1540-1603), en 1579, portant le nombre de côtés du polygone régulier à $6\times 2^{16}$ soit un faramineux $393216$ côtés, trouve une précision de neuf décimales !  L’approximation de Viète comporte, dans son calcul, dix-sept racines carrées emboîtées.  Terrible !  Mais cette méthode à la dure atteint son paroxysme avec les efforts ridicules de Ludolph van Ceulen qui y consacre la plus grande partie de sa vie.  Travail de moine pour le moins colossal : l’expression de van Ceulen comporte 5 douzaines de racines carrées emboîtées.  Il évalue chacune de ces racines à 35 décimales… à la main !   Son approximation de $\pi$, bonne pour $35$ décimales de précision utilisait un polygone régulier comportant $2^{62}$ côtés ! Un nombre astronomique à $19$ chiffres : $4611686018427387904$.

Entre en scène le grand Leonhard Euler.

On connaissait depuis James Gregory la série infinie de la fonction arctangente$$\arctan (x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{1}+\dots$$En posant $x=1$ on obtient $$\frac{\pi }{4}=\arctan (1)=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\dots$$Une série d’additions et de soustractions de fractions alternées… sans racine ! Malheureusement, cette série converge très lentement.  Si lentement que pour avoir la même précision qu’Archimède, il nous faudrait faire la somme de plus de $120$ termes et pour obtenir la précision de Viète, plus d’un milliard de termes !  Cette série est donc complètement inutile pour le calcul de $\pi$.  Euler remarque que cette série converge beaucoup plus rapidement pour des valeurs de $x$ proche de zéro (les exposants de $x$ augmentant de $2$ à chaque terme).  On considère l’identité trigonométrique suivante : $$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan (\alpha )-\tan (\beta )}{1+\tan (\alpha )\tan (\beta )}$$On peut réécrire cette identité comme $$\alpha -\beta =\arctan \left(\frac{\tan (\alpha )-\tan (\beta )}{1+\tan (\alpha )\tan (\beta )}\right)$$Euler pose alors $$\tan (\alpha )=\frac{x}{y}$$et $$\tan (\beta )=\frac{z}{w}$$afin d’obtenir$$\arctan \left(\frac{x}{y}\right)-\arctan \left(\frac{z}{w}\right)=\arctan \left(\frac{\frac{x}{y}-\frac{z}{w}}{1+\frac{x}{y}\cdot \frac{z}{w}}\right)$$ce qu’on peut réécrire plus simplement comme $$\arctan \left(\frac{x}{y}\right)=\arctan \left(\frac{z}{w}\right)+\arctan \left(\frac{xw-yz}{yw+xz}\right)$$Euler commence par poser $$x=y=z=1,w=2$$En remplaçant dans l’équation précédente, il trouve $$\frac{\pi }{4}=\arctan (1)=\arctan \left(\frac{1}{2}\right)+\arctan \left(\frac{1}{3}\right)$$ce qui donne$$\pi =4\arctan \left(\frac{1}{2}\right)+4\arctan \left(\frac{1}{3}\right)$$Euler ne s’arrêta pas là.  Les nombres ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ étant trop grands à son goût, il pose $$x=1,y=2,z=1,w=7$$Il obtient donc$$\arctan \left(\frac{1}{2}\right)=\arctan \left(\frac{1}{7}\right)+\arctan \left(\frac{5}{15}\right)$$ce qui fait $$\arctan \left(\frac{1}{2}\right)=\arctan \left(\frac{1}{7}\right)+\arctan \left(\frac{1}{3}\right)$$Il remplace par la suite dans l’équation précédente pour obtenir$$\pi =4(\arctan \left(\frac{1}{7}\right)+\arctan \left(\frac{1}{3}\right))+4\arctan \left(\frac{1}{3}\right)$$ce qui fait$$\pi =4\arctan \left(\frac{1}{7}\right)+8\arctan \left(\frac{1}{3}\right)$$Mais ce n’est pas encore assez pour le grand Euler. Il s’attaque maintenant au ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. Il pose$$x=1,y=3,z=1,w=7$$et obtient$$\arctan \left(\frac{1}{3}\right)=\arctan \left(\frac{1}{7}\right)+\arctan \left(\frac{2}{11}\right)$$En substituant dans la dernière équation, il obtient$$\pi =4\arctan \left(\frac{1}{7}\right)+8(\arctan \left(\frac{1}{7}\right)+\arctan \left(\frac{2}{11}\right))$$et donc plus simplement$$\pi =12\arctan \left(\frac{1}{7}\right)+8\arctan \left(\frac{2}{11}\right)$$Dans une dernière itération, Euler pose$$x=2,y=11,z=1,w=7$$Il obtient alors$$\arctan \left(\frac{2}{11}\right)=\arctan \left(\frac{1}{7}\right)+\arctan \left(\frac{3}{79}\right)$$En remplaçant une dernière fois dans l’équation précédente, il obtient$$\pi =12\arctan \left(\frac{1}{7}\right)+8(\arctan \left(\frac{1}{7}\right)+\arctan \left(\frac{3}{79}\right))$$et donc$$\pi =20\arctan \left(\frac{1}{7}\right)+8\arctan \left(\frac{3}{79}\right)$$Aussi surprenant que cela puisse paraître, l’équation ci-dessus est bien une équation, et non pas une approximation !  Les nombres $\frac{1}{7}$ et $\frac{3}{79}$ sont suffisamment petits pour que la convergence soit rapide.  En calculant les 6 premiers termes de chaque série, on obtient$$\begin{array}{rl}\pi \approx 20& (\frac{1}{7}-\frac{{\left(\frac{1}{7}\right)}^3}{3}+\frac{{\left(\frac{1}{7}\right)}^5}{5}-\frac{{\left(\frac{1}{7}\right)}^7}{7}+\frac{{\left(\frac{1}{7}\right)}^9}{9}-\frac{{\left(\frac{1}{7}\right)}^{11}}{11})\\ +8& (\frac{3}{79}-\frac{{\left(\frac{3}{79}\right)}^3}{3}+\frac{{\left(\frac{3}{79}\right)}^5}{5}-\frac{{\left(\frac{3}{79}\right)}^7}{7}+\frac{{\left(\frac{3}{79}\right)}^9}{9}-\frac{{\left(\frac{3}{79}\right)}^{11}}{11})\end{array}$$ce qui fait$$\pi \approx \frac{2300019488949017845114732399340888}{732118941751498324731500616993015}\approx 3,14159265357$$Une approximation bonne pour $10$ décimales, soit une de plus que Viète qui avait, je le rappelle, calculé dix-sept racines carrées emboîtées pour obtenir les siennes.

Euler a dit :

J’ai utilisé cette méthode pour calculer vingt décimales de précision à π et ces calculs m’ont demandé environ une heure de travail.

On ne peut qu’avoir une petite pensée pour le pauvre Ludolph van Ceulen !

Référence : William Dunham (2004), The Calculus Gallery