La série géométrique

On considère la série géométrique (finie) suivante, de premier terme $a$ et de raison $r$, dont la somme (c’est une série finie) est$$S=\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a+ar+a{r}^2+\dots +a{r}^{n-1}+a{r}^n$$Le truc bien connu pour exprimer $S$ de façon plus concise est le suivant.  On multiplie d’abord chaque côté de l’équation par $r$ $$rS=ar+a{r}^2+a{r}^3+\dots +a{r}^n+a{r}^{n+1}$$ On soustrait la deuxième équation de la première.  Tous les termes s’annulent sauf deux.$$S-rS=a-a{r}^{n+1}$$ Une mise en évidence de $S$ à gauche et de $a$ à droite nous donne$$S(1-r)=a(1-r^{n+1})$$En divisant par $(1-r)$ de chaque côté on obtient l’expression de la somme recherchée$$S=\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$$

Qu’en est-il d’une série géométrique infinie ?  La série converge vers une valeur $S$ si et seulement si la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à $1$.$$\left|r\right|<1$$

On peut obtenir cette valeur en faisant tendre $n$ vers l’infini$$S=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$$Or, comme$$\left|r\right|<1$$on a$$r^{n+1}\to 0$$lorsque$$n\to \mathrm{\infty }$$ce qui fait$$S=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}=a\frac{1}{1-r}$$Cette dernière expression nous permet de trouver les sommes de séries géométriques infinies telles que$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^k=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =1\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$$ou$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n{(-\frac{1}{3})}^k=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\cdots =1\cdot \frac{1}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{3}{4}$$cette dernière étant une série géométrique infinie alternée.

Voici comment Jakob Bernoulli, dans son Tractatus de seriebus infinitis earumque summa finita, écrit en 1689, somme les séries géométriques.  Il définit d’abord une série géométrique comme une somme de termes positifs$$S=A+B+C+\cdots +D+E$$dans laquelle$$\frac{A}{B}=\frac{B}{C}=\cdots =\frac{D}{E}$$Il énonce ensuite ceci : “Dans une progression géométrique A, B, C, … , D, E, le premier terme est au deuxième ce que la somme de tous les termes sauf le dernier est à la somme de tous les termes sauf le premier.”

Afin de bien comprendre cet énoncé, posons (conformément à notre notation habituelle)$$\frac{A}{B}=\frac{1}{r}$$ce qui implique que$$Ar=B,Br=C,\dots ,Dr=E$$ou$$Ar=B,A{r}^2=C,\dots ,A{r}^n=E$$L’énoncé peut maintenant être vérifié facilement puisque

On multiplie ensuite le numérateur et le dénominateur$$\frac{A}{B}=\frac{A}{Ar}=\frac{A(1+r+r^2+\cdots +r^{n-1})}{Ar(1+r+r^2+\cdots +r^{n-1})}$$En distribuant dans les parenthèses on obtient$$\frac{A}{B}=\frac{A+Ar+A{r}^2+\cdots +A{r}^{n-1}}{Ar+r^2+r^3+\cdots +A{r}^n}$$ce qui fait$$\frac{A}{B}=\frac{A+B+C+\cdots +D}{B+C+\cdots +E}$$c’est-à-dire que “dans une progression géométrique A, B, C, … , D, E, le premier terme est au deuxième ce que la somme de tous les termes sauf le dernier est à la somme de tous les termes sauf le premier.”

En considérant la somme $S$ de la série géométrique, Jakob remarque que$$A+B+C+\cdots +D=S-E$$et$$B+C+\cdots +E=S-A$$Il remplace donc dans l’expression précédente et obtient$$\frac{A}{B}=\frac{S-E}{S-A}$$qu’il s’applique ensuite à résoudre pour $S$ $$A(S-A)=B(S-E)$$Puis en distribuant de chaque côté$$AS-A^2=BS-BE$$Regroupant ensuite les termes en $S$ à gauche$$AS-BS=A^2-BE$$et après la mise en évidence$$S(A-B)=A^2-BE$$il obtient le résultat recherché$$S=\frac{A^2-BE}{A-B}$$Cette expression concise de la somme de la série géométrique utilise la premier terme $A$ , le deuxième terme $B$ et le dernier terme $E$, contrairement à la forme moderne qui utilise le premier terme $a$, le nombre de terme $n$ et la raison $r$.  Jakob observe par la suite que si le rapport des termes successifs est plus petit que $1$, le dernier terme doit s’approcher de $0$.  Pour une série géométrique infinie, il pose donc son “dernier” terme, $E$, égal à $0$.$$E=0$$et il obtient comme somme d’une série géométrique infinie de premier terme $A$ et de deuxième terme $B$$$S=\frac{A^2}{A-B}$$