Reconstruire le carré

Les quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ suivants appartiennent aux quatre côtés d’un carré.  Il faut reconstruire le carré à la règle et au compas.

Cela semble beaucoup plus facile que ça l’est en réalité.  Avant de continuer, je vous encourage à essayer par vous-même.

Examinons premièrement deux de ces points, par exemple les points $A$ et $B$.  Un peu de géométrie élémentaire nous permet de déduire que le sommet K du carré est forcément sur le cercle de diamètre $\overline{AB}$ (de centre $E$, tel qu’illustré ci-dessous).

Il faut donc trouver $K$ sur ce cercle.  Approfondissant notre exploration, on trace la perpendiculaire à $\overline{AB}$ passant par $E$.  Cette perpendiculaire coupe le cercle en $G$ (de l’autre côté de $\overline{AB}$ que $K$).  Traçons $GK$.

L’angle au centre $BEG$ et l’angle inscrit $BKG$ interceptent le même arc $BG$.  La mesure de l’angle au centre $BEG$ étant ${90}^{\circ }$, on en déduit que la mesure de l’angle inscrit $BKG$ est de ${45}^{\circ }$.  La même remarque s’applique aux angles au centre $AEG$ et inscrit $AKG$.  $K$ est le sommet recherché et la droite $GK$ est la bissectrice de l’angle droit $AKB$.  La droite $GK$ supporte donc la diagonale du carré.

Il ne reste qu’à appliquer ces considérations à notre figure initiale.

À partir des quatre points initiaux, on trace les cercles de diamètre $\overline{AB}$ et de centre $E$ et de diamètre $\overline{CD}$ et de centre $F$.

On trace ensuite les perpendiculaires à $\overline{AB}$ par $E$ et à $\overline{CD}$ par $F$.  Ces perpendiculaires coupent les cercles respectivement en $H$ et $G$ et en $I$ et $J$ (tel qu’illustré ci-dessous).

On choisit ensuite deux de ces points de telle sorte que la droite qui passe par ces points coupe les cercles à deux autres endroits.  Dans notre exemple, on choisit les points $G$ et $I$ puisque la droite $GI$ coupe les deux cercles à deux autres endroits, respectivement en $K$ et $L$.  Nous avons vu que la droite $GK$ supportait une diagonale du carré et, dans l’autre cercle, la droite $IL$ supportait aussi une diagonale du carré.  L’astuce est ici de faire coïncider ces deux diagonales qui ne sont en effet qu’une seule : la droite $KL$ supporte une des deux diagonales du carré… et $K$ et $L$ sont deux sommets opposés du carré.

On trouve ensuite les deux autres sommets en traçant l’autre diagonale.

Voilà !

Ce qu’il y a de formidable, avec cette méthode, c’est que si l’on accepte que les points puissent se trouver sur les côtés ou sur les prolongement des côtés du carré, alors il devient toujours possible, à partir de quatre points quelconques, de reconstruire un carré.  Même dans les cas les moins intuitifs… Par exemple dans le triangle $ABC$ ci-dessous avec le quatrième point $D$ à l’intérieur du triangle, dont voici une solution possible

puis une autre avec les mêmes points

ou encore avec quatre points colinéaires !

Inspiré par : The Oral Exam