arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = 180°

On considère le diagramme suivant :

dans lequel $$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$$et qui met en évidence la (surprenante) relation suivante : $$\arctan (1)+\arctan (2)+\arctan (3)={180}^{\circ }$$Le lecteur minutieux peut vérifier que le triangle possédant l’angle $\gamma$ est bien rectangle.  Avec Pythagore, on trouve dans le triangle possédant l’angle $\beta$ $$\begin{array}{rl}{w}^2& =x^2+{\left(2x\right)}^2\\ \\ & =5x^2\end{array}$$et donc que $$w=\sqrt{5}x$$Et comme la diagonale d’un carré de ce quadrillage a pour mesure $\sqrt{2}x$, on vérifie la relation de Pythagore dans le grand triangle possédante l’angle $\gamma$ $$\begin{array}{rl}{\left(3\sqrt{5}x\right)}^2+{\left(\sqrt{5}x\right)}^2& ={\left(5\sqrt{2}x\right)}^2\\ \\ (9\cdot 5)x^2+5x^2& =(25\cdot 2)x^2\\ \\ 50x^2& =50x^2\end{array}$$Il est donc rectangle.  D’autres diagrammes ingénieux peuvent faire apparaître des relations surprenantes, je pense par exemple à celle-ci vue précédemment, ou encore à la suivante

$$\arctan \left(\frac{1}{2}\right)+\arctan \left(\frac{1}{3}\right)={45}^{\circ }$$

Référence : James Tanton (2012), Mathematics Galore !