Un récent fil de discussion sur Reddit et un plus ancien sur MathOverflow présentent, avec humour, des résultats élémentaires prouvés avec des méthodes, des techniques ou d’autres résultats avancés. On trouve en particulier dans le fil de discussion cette observation que j’ai trouvée bien amusante [1]
La racine \(n\)ième de \(2\) est irrationnelle pour des valeurs de \(n\geq 3\)
En effet, on suppose le contraire, et donc on a pour certains p et q entiers et premiers entre eux \[\sqrt[n]{2} = \frac{p}{q}\]En élevant chaque côté à la \(n\), on tire \[2 = \frac{p^{n}}{q^{n}}\]et donc \[2q^{n} = p^{n}\]qu’on peut réécrire comme \[q^{n}+q^{n} = p^{n}\]Ah ! Mais le théorème de Fermat-Wiles nous dit que cette équation n’a pas de solution pour \(p\) et \(q\) entiers lorsque \(n\geq 3\). La racine \(n\)ième de \(2\) est donc irrationnelle, si \(n\geq 3\). Et malheureusement, le théorème de Fermat-Wiles ne semble pas assez fort pour prouver l’irrationalité du simple nombre \(\sqrt{2}\).
Bien sûr tout cela est à prendre avec humour. Quelques mathématiciens irréductibles nous rappellent qu’il faudrait vérifier que la preuve de Wiles n’utilise pas nulle part ce théorème, sans quoi l’argument devient circulaire. Tâche ingrate !
[1] W.H. Schultz, An observation, American Mathematical Monthly, Vol. 110, Nr. 5, May 2003. (submitted by R. Ehrenborg).
