Le problème est le suivant :
en utilisant une fois seulement tous les chiffres de à , formez des nombres de un ou deux chiffres dont la somme est .
Les différentes possibilités de former de telles sommes apparaissent si grandes que, le problème posé de cette manière, un mathématicien amateur ou un élève pourrait, de prime abord, ne pas se contenter de chercher une solution mais bien de tenter de découvrir une stratégie qui permettrait de trouver systématiquement toutes les solutions.
Or, calculatrice à la main, la recherche apparaît rapidement vaine. On peut trouver des sommes qui sont très proches, comme ou mais il semble désormais impossible, après plusieurs tentatives, de trouver une somme qui fait l’affaire. Hummmm…
Si la somme existe, elle doit inévitablement prendre cette forme : où les expressions de la forme représentent les nombres à deux chiffres et les expressions de la forme représentent les nombres à un chiffre. En vertu de l’énoncé du problème, les , et sont tous distincts et compris entre et . On peut par ailleurs réécrire la somme précédente comme Maintenant, en remarquant que on peut poser et incidemment En d’autres mots, si la somme des chiffres à la position des unités est , alors la somme des chiffres à la position des dizaines sera . En substituant, on obtient ce qui fait en résolvant et puis Si la solution existe, alors une somme de nombres entiers doit être égale à une fraction ! Ainsi, aussi surprenant que cela puisse paraître, il est impossible de trouver une telle somme, malgré toute la liberté concédée dans l’énoncé du problème.
Référence : George Pólya (2004), How to Solve It : A New Aspect Of Mathematical Method
