Author: The Dude

That’s a neat coincidence I’ve never noticed before—a cubic mile happens to be almost exactly (4/3)π cubic kilometers, so a sphere with a radius of X kilometers has the same volume as a cube that’s X miles on each side.

– Randall Munroe sur son blogue What If ?

Le mile équivaut à un tiers d’une lieue qui correspondait, selon Wikipedia, à la distance que peut parcourir un homme à pied ou un cheval en une heure.  Ah ces unités loufoques ! Ne pas confondre avec le mile marin dont la longueur correspond à celle d’un arc d’une minute d’angle mesuré à l’équateur.

Lewis Carrol was the pen name for mathematician C. L. Dodgson.  He wrote mathematics books under his own name, but invented his pseudonym by translating his first two names, Charles Lutwidge, into Latin, producing Carolus Lodovicus, which he then Anglicised and reversed in order.

Siobhan Roberts (2006), King of Infinite Space : Donald Coxeter, the Man Who Saved Geometry

Grâce notamment aux logiciels de géométrie dynamique, il est tout à fait remarquable de faire découvrir aux élèves que dans n’importe quel triangle, le plus grand côté est toujours opposé au plus grand angle et le plus petit côté au plus petit angle.Il est intéressant, à ce moment, de se demander si les côtés opposés et leurs angles respectifs sont dans le même rapport : en d’autres mots, est-ce qu’on $$\frac{a}{\mathrm{\angle }A}\stackrel{?}{=}\frac{b}{\mathrm{\angle }B}\stackrel{?}{=}\frac{c}{\mathrm{\angle }C}$$La réponse est bien entendue négative. En réalité, les côtés opposés sont proportionnels non pas aux angles mais aux sinus des angles. C’est la loi des sinus $$\frac{a}{\sin \left(\mathrm{\angle }A\right)}=\frac{b}{\sin \left(\mathrm{\angle }B\right)}=\frac{c}{\sin \left(\mathrm{\angle }C\right)}$$La question est :

Que représente ce rapport entre les côtés opposés et les sinus des angles ?

Avant d’y répondre, et à des fins de complétude pour ce blogue, voici la preuve « cassique » de la loi des sinus telle que vue généralement en quatrième secondaire. Dans un triangle $ABC$, on trace la hauteur $CD$ que l’on nomme $h$.On a d’une part, dans le triangle $ACD$,$$\sin \left(\mathrm{\angle }A\right)=\frac{h}{b}\Rightarrow h=b\sin \left(\mathrm{\angle }A\right)$$et, d’autre part, dans le triangle $BCD$, $$\sin \left(\mathrm{\angle }B\right)=\frac{h}{a}\Rightarrow h=a\sin \left(\mathrm{\angle }B\right)$$En comparant les expressions obtenues pour la hauteur, on a $$a\sin \left(\mathrm{\angle }B\right)=b\sin \left(\mathrm{\angle }A\right)$$ou de manière équivalente $$\frac{a}{\sin \left(\mathrm{\angle }A\right)}=\frac{b}{\sin \left(\mathrm{\angle }B\right)}$$et la preuve est essentiellement complète puisqu’il est possible de répéter la manœuvre avec la hauteur relative au côté $c$ et par transitivité, on obtient le résultat attendu. La démarche est la même si l’angle est obtus
puisque dans ce cas, les angles $CAD$ et $CAB$ sont supplémentaires et les sinus d’angles supplémentaires sont égaux $$\sin \left(\mathrm{\angle }CAD\right)=\sin ({180}^{\circ }-\mathrm{\angle }CAD)$$Ainsi on a $$\sin \left(\mathrm{\angle }CAD\right)=\sin \left(\mathrm{\angle }CAB\right)$$

Que représente ce rapport ?

Maintenant, pour répondre à la question, on considère un triangle $ABC$ et son cercle circonscrit de centre $O$. On trace le diamètre $CD$.

On pose le rayon égal à $r$. En d’autres mots, m$$m\overline{CD}=2r$$L’angle $CBD$ est droit puisque le triangle $CBD$ est inscrit dans un cercle et l’un de ses côtés est un diamètre. On a donc $$\sin \left(\mathrm{\angle }D\right)=\frac{a}{m\overline{CD}}=\frac{a}{2r}$$Or, les angles $D$ et $A$ sont isométriques puisqu’ils interceptent le même arc. En substituant, on obtient $$\sin \left(\mathrm{\angle }A\right)=\frac{a}{2r}$$ou de manière équivalente $$2r=\frac{a}{\sin \left(\mathrm{\angle }A\right)}$$En procédant de façon analogue, en considérant les autres angles, on obtient (le cercle circonscrit au triangle étant unique) $$2r=\frac{b}{\sin \left(\mathrm{\angle }B\right)}$$et $$2r=\frac{c}{\sin \left(\mathrm{\angle }C\right)}$$et donc $$2r=\frac{a}{\sin \left(\mathrm{\angle }A\right)}=\frac{b}{\sin \left(\mathrm{\angle }B\right)}=\frac{c}{\sin \left(\mathrm{\angle }C\right)}$$ce qui complète la preuve. On sait maintenant que le rapport constant entre les côtés opposés et les sinus des angles dans la loi des sinus est égal au diamètre du cercle circonscrit ! Et encore une fois, si le triangle est obtusangle, comme dansalors pas de problème ! Les angles $A$ et $D$ sont supplémentaires puisqu’ils sont des angles opposés dans un quadrilatère inscrit dans un cercle (Proposition III.22 des Éléments d’Euclide). Et comme les sinus d’angles supplémentaires sont égaux, on a bien $$\sin \left(\mathrm{\angle }D\right)=\sin \left(\mathrm{\angle }A\right)$$