Category: Mathématiques

… ou à propos de « ne pas voir ».

Cette vidéo de Numberphile renferme un extrait que je trouve absolument savoureux. Le grand John Conway y relate sa première rencontre, à Cambridge, avec la suite qui porte aujourd’hui son nom (Look-and-Say sequence en anglais).

La leçon est claire : “so, there’s no need to be embarassed if you didn’t get to what this sequence consists of“.

Au fait j’ai vu ce problème, dans des manuels scolaires du secondaire, et il faudrait faire aussi la recherche dans les manuels du primaire, et combien d’autres pas du tout triviaux, coincés anonymement entre deux lots de questions de routine… à quoi pense l’élève de première secondaire qui doit résoudre ce problème le soir, seul, en devoirs, pour le lendemain (et à qui on n’a pas dit qu’il avait le droit, en apprentissage, de ne pas « voir » sur-le-champ)?

J’adore le blogue Five Triangles (surtout les questions de géométrie) et j’en ai déjà parlé ici. Le sous-titre de ce blogue est unemasculated mathematics for school years 6, 7 & 8 ~ or thereabouts. Ainsi, malgré le réflexe d’utiliser l’artillerie lourde au premier abord (ça fonctionne après tout), il existe souvent (jusqu’à preuve du contraire) un moyen simple et ingénieux de s’en sortir. Dans les problèmes favoris des auteurs, on trouve

Le pentagone \(ABEDC\) ci-dessus est composé de trois triangles isocèles isométriques dont les côtés sont \(64\), \(64\) et \(48\). Quelle est la mesure du segment \(AE\) ?

En posant la mesure de l’angle \(ABC\) égale à \(\alpha\) on peut utiliser la loi des cosinus dans le triangle \(ABC\) \[48^{2}=64^{2}+64^{2}-2\cdot 64\cdot 64\cdot \cos(\alpha)\]En regroupant les termes constants et en simplifiant, on obtient\[\frac{-5\,888}{-8\,192}=\cos(\alpha)\]Hummm, la fraction réduite, \[\frac{23}{32} = \cos(\alpha)\]n’est pas une valeur remarquable pour le cosinus. Cela est un peu problématique car en utilisant la loi des cosinus dans le triangle \(ABE\), on obtient \[\left(m\overline{AE}\right)^{2} = 64^{2}+64^{2}-2\cdot 64 \cdot 64 \cdot \cos(3\alpha)\]ou \[\left(m\overline{AE}\right)^{2}=8\,192-8\,192\cos(3\alpha)\]et on doit trouver une valeur pour \(\cos(3\alpha)\) en fonction de celle de \(\cos(\alpha)\). Un peu fastidieux, mais encore, pas de problème ! En se rappelant les formules d’addition d’angles\[\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\]et\[\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)\]et en les appliquant deux fois, on peut obtenir une formule du cosinus de l’angle triple. Dans un premier temps, on obtient celle de l’angle double \begin{align*} \cos(2x)&=\cos(x+x) \\ \\ &=\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x) \\ \\ &= \cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)\end{align*}et comme \[\sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x)\]on peut remplacer et obtenir \begin{align*}\cos(2x)&=\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x) \\ \\ &=\cos^{2}(x)-\left(1-\cos^{2}(x)\right) \\ \\ &=2\cos^{2}(x)-1\end{align*}Quant au sinus, on trouve pour l’angle double \begin{align*}\sin(2x)&=\sin(x+x)\\ \\ &=\sin(x)\cos(x) + \sin(x)\cos(x) \\ \\ &=2\sin(x)\cos(x)\end{align*}Enfin, en réutilisant la formule d’addition d’angles pour le cosinus, on obtient le cosinus de l’angle triple\begin{align*} \cos(3x) &=\cos(2x+x) \\ \\ &=\cos(2x)\cos(x)-\sin(2x)\sin(x) \\ \\ &=\left(2\cos^{2}(x)-1\right)\cos(x)-\left(2\sin(x)\cos(x)\right)\sin(x) \\ \\ &=2\cos^{3}(x)-\cos(x)-2\sin^{2}(x)\cos(x)\end{align*}En utilisant encore la substitution \[\sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x)\]on obtient \begin{align*}\cos(3x) &= 2\cos^{3}(x)-\cos(x)-2\sin^{2}(x)\cos(x)\\ \\ &=2\cos^{3}(x)-\cos(x)-2\left(1-\cos^{2}(x)\right)\cos(x) \\ \\ &=2\cos^{3}(x)-\cos(x)-2\cos(x)+2\cos^{3}(x) \\ \\ &=4\cos^{3}(x)-3\cos(x)\end{align*}En outre, \[\left(m\overline{AE}\right)^{2}=8\,192-8\,192\cos(3\alpha)\]devient\[\left(m\overline{AE}\right)^{2}=8\,192-8\,192\left(4\cos^{3}(\alpha)-3\cos(\alpha)\right)\]et puisque\[\cos(\alpha)=\frac{23}{32}\]on trouve \[\left(m\overline{AE}\right)^{2}=8\,192-8\,192\left(4\left(\frac{23}{32}\right)^{3}-3\left(\frac{23}{32}\right)\right)\]Un peu d’arithmétique nous donne\begin{align*}\left(m\overline{AE}\right)^{2}&=8\,192-8\,192\left(\frac{12\,167}{8\,192}-\frac{69}{32}\right) \\ \\ &= 8\,192 + 5\,497 \\ \\ &= 13\,689\end{align*}et on trouve, ô surprise, une mesure entière pour le segment \(AE\) \[m\overline{AE} = \sqrt{13\,689} = 117\]Bien sûr, c’est décevant. Un si beau nombre. Entier. Et une démarche si compliquée ! Peut-on faire plus simple ?

En plaçant la figure dans un plan cartésien, on peut ramener le problème à résoudre un système d’équations du deuxième degré.
Avec Pythagore, on peut trouver l’ordonnée de \(B\) \begin{align*}\left(-24\right)^{2}+{y_{B}}^{2}&= 64^{2} \\ \\ 576 + {y_{B}}^{2}&=4\,096 \\ \\ {y_{B}}^{2}&=3\,520 \\ \\ y_{B}&=\pm 8\sqrt{55}\end{align*}et on garde la valeur positive. Les équations des cercles sont \begin{align*}x^{2}+y^{2}&=48^{2} \\ \\ \left(x+24\right)^{2}+\left(y+8\sqrt{55}\right)^{2}&=64^{2}\end{align*}On peut isoler \(y^{2}\) dans la première équation \[y^{2}=2\,304-x^{2}\]et substituer dans la deuxième \begin{align*}x^{2}+48x+576+y^{2}+16\sqrt{55}y+3\,520&=4\,096 \\ \\ x^{2}+48x+\left(2\,304-x^{2}\right)+16\sqrt{55}y&=0 \\ \\ 16\sqrt{55}y&=-\left(48x+2\,304\right)\end{align*}En divisant par \(16\), le facteur commun, \[\sqrt{55}y=-\left(3x+144\right)\]puis en élevant au carré et en substituant \(y^{2}\) à nouveau\begin{align*}55y^{2}&=9x^{2}-864x+20\,736 \\ \\ 55\left(2\,304-x^{2}\right) &= 9x^{2}-864x+20\,736 \\ \\ 126\,720-55x^{2}&=9x^{2}-864x+20\,736 \\ \\ 0&=64x^{2}-864x-105\,984\end{align*}En divisant par \(32\) on obtient \[0=2x^{2}+27x-3\,312\]On peut calculer le discriminant\begin{align*}\Delta &= 27^{2}-4\cdot 2 \cdot (-3\,312) \\ \\ &= 729 + 26\, 496 \\ \\ &=27\, 225\end{align*}Sans surprise \(27\,225\) est un carré (après tout, \(-48\) est une solution connue). Avec la formule quadratique, on obtient pour valeurs de \(x\) \[x = \frac{-27\pm\sqrt{27\, 225}}{2(2)}\]ou de manière équivalente\[x = \frac{-27\pm165}{4}\]Si la première solution est connue \[x_{1}= \frac{-27-165}{4}=-18\]la deuxième, elle, nous permet de répondre (à nouveau) à la question\[x_{2}=\frac{-27+165}{4}=\frac{69}{2}\]En effet, la distance entre \(A\) et \(E\) correspond à\[48+2\cdot \frac{69}{2}=117\]Plus élémentaire ? Peut-être. Plus simple ? C’est discutable. On pourrait faire un peu mieux, en calquant la deuxième démarche mais en évacuant le plan cartésien et les équations de cercles et en remplaçant le tout avec une grosse dose de Pythagore. Cela ferait plus school years 6, 7 & 8 ~ or thereabouts que les démarches précédentes, mais il me semble que la route est longue et aride.

Alors la question : quelle savante astuce nous permet de « voir » le \(117\) ?

Mise à jour :

Merci à Manuel qui, dans les commentaires, partage une solution vraiment simple !

Dans le triangle isocèle \(ABC\), la mesure de l’angle \(ACB\) est \[\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}\]Dans le triangle isocèle \(ABE\), la mesure de l’angle \(BAE\) est\[\frac{180^{\circ}-3\alpha}{2}\]Dans le triangle \(AFB\), la mesure de l’angle \(AFB\) est\[\frac{180^{\circ}+\alpha}{2}\]L’angle \(AFC\) et \(AFB\) étant adjacents supplémentaires, la mesure de l’angle \(AFC\) est\[\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}\]Le triangle \(ACF\) est donc isocèle et pour reprendre l’explication de Manuel,

\(m\overline{AF} = 48\) et le triangle \(ACF\) est semblable à \(ABC\) avec un coefficient de proportionnalité de \(\frac{9}{16}\), d’où \(m\overline{CF} = 36\) et, par Thalès, dans \(\triangle ACD\), \(m\overline{FG} = 21\).
Donc \(m\overline{AE} = 48 + 21 + 48 = 117\).

Je partage cette petite trouvaille rencontrée en élaborant un exercice pour mes élèves sur la droite d’Euler : il s’agit d’un triangle scalène, non rectangle, dans lequel les trois sommets (A, B, C), les trois pieds des hauteurs (H₁, H₂, H₃), les trois points milieux des côtés (M₁, M₂, M₃) et les points d’intersection des médianes (M₀), médiatrices (R₀) et hauteurs (H₀) ont tous des coordonnées entières et dont les côtés ne sont pas parallèles aux axes. Qui plus est, les pieds des hauteurs tombent sur les côtés (et non sur leurs prolongements) et les trois points d’intersection se trouvent à l’intérieur du triangle.

Sur la figure, le triangle, en bleu, les médianes tracées avec des traits pointillés fins, les hauteurs avec des traits pointillés longs, et les médiatrices avec des traits continus. La droite d’Euler est en rouge.

Si on laisse tomber la condition que les points d’intersections H₀, R₀ et M₀ soient à l’intérieur du triangle, on peut trouver facilement des triangles beaucoup plus petits (il en existe beaucoup), par exemple celui-ci

Bon. Je suis loin d’avoir fait une recherche exhaustive, mais voilà : je doute qu’il existe des triangles beaucoup plus petits que celui ci-dessus. Si vous en trouvez, s’il vous plait, faites-moi en part !

En ce qui me concerne, après tâtonnements dans Géogébra, j’ai cru bon partir du point d’intersection des médiatrices, équidistant des trois sommets, et de reconstruire les sommets du triangle à partir de là. Pour éviter d’obtenir des triangles rectangles (R₀ tombe sur l’hypoténuse) ou isocèles, ou des côtés parallèles aux axes, j’ai utilisé pour les accroissements le plus petit nombre exprimable comme somme de deux carrés de trois façons différentes : \[325 = 1^{2}+18^{2}=66^{2}+17^{2}=10^{2}+15^{2}\]Après un peu de jonglerie avec les combinaisons possibles de ces nombres, j’ai ensuite redimensionné le triangle afin que tous les points mentionnés ci-haut soient à coordonnées entières (en multipliant les accroissements par le PPCM des dénominateurs des coordonnées rationnelles). Je n’ai aucune idée cependant si cette démarche est la meilleure !