Category: Mathématiques

Vous résolvez des équations avec des racines carrées et vos élèves sont troublés lorsqu’ils élèvent au carré et insèrent peut-être par le fait même une ou des fausses solutions à l’équation initiale ? Par exemple, pour résoudre \[\sqrt{x + 3} = x+1\]on élève au carré pour se débarrasser de la racine carrée à gauche \[x + 3 = \left(x+1\right)^{2}\]On développe \[x + 3 = x^{2}+2x+1\]On regroupe \[0 = x^{2} + x-2\]et on factorise \[0 = (x+2)(x-1)\]Les solutions à la dernière équations sont \(-2\) et \(1\). Si \(1\) est bien une solution de l’équation initiale \begin{align*}\sqrt{1+3} &= 1+1 \\ \\ \sqrt{4}&=2 \\ \\ 2&=2\end{align*}on ne peut pas en dire autant de \(-2\) \begin{align*}\sqrt{-2+3} &\neq -2+1 \\ \\ \sqrt{1}&\neq -1 \\ \\ 1 &\neq -1\end{align*}Lorsqu’on a élevé au carré, une fausse solution, \(-2\), s’est insérée. Calamité !

Exemple extrêêêêêêême

L’intrigue se corse. On veut résoudre\[\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1\]une expression aux allures certainement plus menaçantes. On cherchera néanmoins à éliminer les racines. En élevant au carré on obtient \[x+3-4\sqrt{x-1}+2\sqrt{\left(x+3-4\sqrt{x-1}\right)\left(x+8-6\sqrt{x-1}\right)}+x+8-6\sqrt{x-1}=1\]qu’on simplifie en regroupant les termes semblables \[2x+11-10\sqrt{x-1}+2\sqrt{\left(x+3-4\sqrt{x-1}\right)\left(x+8-6\sqrt{x-1}\right)}=1\]ou de manière équivalente \[2\sqrt{\left(x+3-4\sqrt{x-1}\right)\left(x+8-6\sqrt{x-1}\right)}=10\sqrt{x-1}-2x-10\]En divisant par \(2\) \[\sqrt{\left(x+3-4\sqrt{x-1}\right)\left(x+8-6\sqrt{x-1}\right)} = 5\sqrt{x-1}-x-5\]et en élevant au carré pour se débarrasser de la racine à gauche, on obtient \begin{align*}\left(x+3-4\sqrt{x-1}\right)\left(x+8-6\sqrt{x-1}\right) &= \\ 25x-25-5x\sqrt{x-1}-25\sqrt{x-1}&-5x\sqrt{x-1}+x^{2}+5x-25\sqrt{x-1}+5x+25\end{align*}ou en regroupant les termes semblables \[\left(x+3-4\sqrt{x-1}\right)\left(x+8-6\sqrt{x-1}\right)=x^{2}-10x\sqrt{x-1}+35x-50\sqrt{x-1}\]Dans l’espoir de regrouper les racines de \(x-1\), on développe le produit à gauche \begin{align*}x^{2}+8x-6x\sqrt{x-1}+3x+24-18\sqrt{x-1}-4x\sqrt{x-1}-32\sqrt{x-1}+24x+24 &= \\ x^{2}-10x\sqrt{x-1}+35x-50&\sqrt{x-1}\end{align*}puis on regroupe les termes semblables à gauche, \[x^{2}-10x\sqrt{x-1}+35x-50\sqrt{x-1}=x^{2}-10x\sqrt{x-1}+35x-50\sqrt{x-1}\]et là, ô surprise, une identité ! Vraie pour tout \(x\) ? On a élevé au carré, certes, mais on ne fait quand même pas dans la sorcellerie ! Une identité ! Que s’est-il passé ?

La clé de l’énigme consiste à remarquer que \begin{align*}x+3-4\sqrt{x-1}&=x-1-4\sqrt{x-1}+4 \\ \\ &=\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}\end{align*}et\begin{align*}x+8-6\sqrt{x-1}&=x-1-6\sqrt{x-1}+9 \\ \\ &=\left(\sqrt{x-1}-3\right)^{2}\end{align*}c’est à dire que l’équation initiale est équivalente à \[\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-3\right)^{2}}=1\]ou, exprimée avec des valeurs absolues, à \[\left|\sqrt{x-1}-2\right| + \left|\sqrt{x-1}-3\right| =1\]Maintenant, pour des valeurs de \(x\) telles que\[1\leq x \leq 5\]l’expression \[\sqrt{x-1}-2\]est négative et pour des valeurs de \(x\) telles que \[5\leq x\]l’expression \[\sqrt{x-1}-2\]est positive. D’autre part, pour des valeurs de \(x\) telles que \[1\leq x \leq 10\]l’expression \[\sqrt{x-1}-3\]est négative et pour des valeurs de \(x\) telles que\[10\leq x\]l’expression \[\sqrt{x-1}-3\]est positive. Ainsi, il y a trois cas à traiter. D’abord si \[1\leq x \leq 5\]les deux expressions sont négatives et pour se débarrasser des valeurs absolues on pose \[-\left(\sqrt{x-1}-2\right)-\left(\sqrt{x-1}-3\right) =1\]ce qui fait \[-2\sqrt{x-1}=-4\]puis en divisant par \(-2\) \[\sqrt{x-1}=2\]On trouve ainsi la solution \begin{align*}x-1&=4 \\ \\ x&=5\end{align*}et comme \[5\leq 5\]on accepte cette solution. Le deuxième cas à traiter est \[5\leq x \leq 10\]Dans ce cas, la première expression est positive mais la deuxième est négative. Pour enlever les valeurs absolues, on pose \[\sqrt{x-1}-2-\left(\sqrt{x-1}-3\right)=1\]ce qui fait \[\sqrt{x-1}-2-\sqrt{x-1}+3=1\]ou, ô surprise, \[1=1\]une identité ! C’est donc dire que cet intervalle au complet \[5 \leq x \leq 10\]est aussi solution à l’équation. Enfin, le troisième et dernier cas à considérer est \[10\leq x\]Dans ce cas, les deux expressions sont positives et donc on a \[\sqrt{x-1}-2+\sqrt{x-1}-3=1\]ce qui fait \[2\sqrt{x-1}=6\]puis en divisant par \(2\) \[\sqrt{x-1}=3\]et là on trouve la solution \begin{align*}x-1&=9 \\ \\ x&= 10\end{align*}Et comme\[10\leq10\]on accepte cette solution.

L’ensemble solution à l’équation initiale comprend donc tout l’intervalle fermé \(\left[5,\, 10\right]\) et comporte ainsi une infinité de solutions. Du coup, la stratégie d’élever au carré pour éliminer les racines produit un polynôme qui comporte au moins autant de solutions que l’équation initiale, c’est-à-dire une infinité, et on obtient ainsi une identité.

Références : Edward J. Barbeau (2013), More Fallacies, Flaws and Flimflam

Chers lecteurs aguerris,

Vous pouvez passer au point 4 immédiatement. Les premiers points sont là sur ce blogue pour fin de complétude.

4. Le produit de logarithmes

Le résultat qui suit provient de la solution (erronée) mais néanmoins amusante au problème :

Que vaut l’expression suivante (sans tables et sans calculatrice):

\[\log_{13}\left(243\right)\log_{3}\left(169\right)\]

En posant\[a=\log_{13}\left(243\right),\quad b = \log_{3}\left(169\right)\]on peut passer à la forme exponentielle équivalente \[13^{a} = 243, \quad 3^{b} = 169\]soustraire respectivement \(243\) et \(169\) de chaque côté et faire la somme des deux équations \[13^{a}-243 = 0, \quad 3^{b}-169 = 0\] \[13^{a}-243 + 3^{b}-169 = 0\]On peut réarranger les termes\[13^{a}-169 + 3^{b}-243=0\]et là, certainement, on trouve les solutions « évidentes » \[a = 2, \quad b = 5\]c’est-à-dire qu’on peut répondre à la question \begin{align*}\log_{13}\left(243\right) \log_{3}\left(169\right)&= ab\\ \\ &=2\cdot 5 \\ \\ &=10\end{align*}La réponse au problème, \(10\), est bonne, mais la démarche est fausse : il est évident que \(a\) et \(b\) ne peuvent prendre respectivement les valeurs \(2\) et \(5\) car \[2 \neq \log_{13}\left(243\right)\]et \[5\neq \log_{3}\left(169\right)\]Pourtant le produit est bien \(10\) ! Hasard ? Oh!  Je ne pense pas.

On considère le produit \[\log_{c}\left(x\right)\log_{d}\left(y\right)\]Avec la loi du changement de bases (voir point 3), \[\log_{c}\left(x\right)\log_{d}\left(y\right) = \frac{\log_{d}\left(x\right)}{\log_{d}\left(c\right)} \cdot \frac{\log_{c}\left(y\right)}{\log_{c}\left(d\right)}\]et quelques manipulations algébriques\begin{align*}\frac{\log_{d}\left(x\right)}{\log_{d}\left(c\right)} \cdot \frac{\log_{c}\left(y\right)}{\log_{c}\left(d\right)} &= \log_{d}\left(x\right)\log_{c}\left(y\right) \cdot \frac{1}{\log_{d}\left(c\right)\log_{c}\left(d\right)} \\ \\ &=\log_{d}\left(x\right)\log_{c}\left(y\right) \cdot \frac{1}{\log_{d}\left(c\right)\frac{\log_{d}\left(d\right)}{\log_{d}\left(c\right)}} \\ \\ &= \log_{d}\left(x\right)\log_{c}\left(y\right) \cdot \frac{1}{\log_{d}\left(c\right)\frac{1}{\log_{d}\left(c\right)}} \\ \\ &=\log_{d}\left(x\right)\log_{c}\left(y\right) \cdot \frac{1}{1} \\ \\ &= \log_{d}\left(x\right) \log_{c}\left(y\right) \end{align*}on trouve la jolie égalité suivante \[\log_{c}\left(x\right)\log_{d}\left(y\right) = \log_{d}\left(x\right)\log_{c}\left(y\right)\]Ainsi, on a effectivement \begin{align*}\log_{13}\left(243\right)\log_{3}\left(169\right) &= \log_{3}\left(243\right)\log_{13}\left(169\right) \\ \\ &= 5 \cdot 2 \\ \\ &= 10\end{align*}Dans son livre, Edward J. Barbeau [1] fait remarquer que la courbe strictement décroissante et concave d’équation \[13^{x} + 3^{y} = 412\] intercepte l’hyperbole équilatère d’équation\[xy=10\]en deux endroits : \(\left(2, \ 5\right)\) et \(\big(\log_{13}\left(243\right), \ \log_{3}\left(169\right)\big) \).

Merci TI Nspire CAS pour le joli implicitplot.

1. Le logarithme d’un produit

En partant de la définition,\[c^{\log_{c}\left(x\right)}=x\]on considère, d’une part, le produit \(xy\)\[x \cdot y = c^{\log_c\left(x\right)} \cdot c^{\log_{c}\left(y\right)}\]Avec un produit de deux puissances de même base, on additionne les exposants. \[x \cdot y = c^{\log_{c}\left(x\right) + \log_c\left(y\right)}\]D’autre part, toujours en partant de la définition du logarithme, on considère \[x \cdot y = c^{\log_{c}\left(x \cdot y\right)}\]Ainsi, on trouve\[c^{\log_{c}\left(x\cdot y\right)} = c^{\log_{c}\left(x\right)+\log_{c}\left(y\right)}\]et comme les bases sont égales, les exposants sont égaux ! On a donc \[\log_{c}\left(x \cdot y\right) = \log_{c}\left(x\right) + \log_{c}\left(y\right)\]On procède de la même manière pour le logarithme d’un quotient. On obtient dans ce cas-ci \[\log_{c}\left(\frac{x}{y}\right) = \log_{c}\left(x\right)-\log_{c}\left(y\right)\]

2. Le logarithme d’une puissance

En partant de la définition, on considère, d’une part, la puissance \[a^{x} = \left(c^{\log_{c}\left(a\right)}\right)^{x}\]Avec une puissance elle-même affectée d’un exposant, on multiplie les exposants\[a^{x}= c^{x\cdot \log_{c}\left(a\right)}\]D’autre part, toujours en partant de la définition du logarithme, on considère \[a^{x} = c^{\log_{c}\left(a^{x}\right)}\]Ainsi, on trouve \[c^{\log_{c}\left(a^{x}\right)} = c^{x\cdot \log_{c}\left(a\right)}\]et comme les bases sont égales, les exposants sont égaux ! On a donc \[\log_{c}\left(a^{x}\right) = x \cdot \log_{c}\left(a\right)\]

3. La loi du changement de bases

En partant de la définition, on considère les expressions suivantes \[c^{\log_{c}\left(x\right)}=x\]et \[d^{\log_{d}\left(x\right)} = x\]On substitut \(x\), dans la deuxième expression, à gauche, par l’expression qui lui est égale dans la première. \[d^{\log_{d}\left(c^{\log_{c}\left(x\right)}\right)}=x\]
En utilisant le résultat sur le logarithme d’une puissance, on réécrit l’expression précédente comme\[d^{\log_{c}\left(x\right)\cdot\log_{d}\left(c\right)} = x\]Mais comme on avait aussi précédemment\[d^{\log_{d}\left(x\right)} = x\]on trouve \[d^{\log_{c}\left(x\right)\cdot \log_{d}\left(c\right)} = d^{\log_{d}\left(x\right)}\]
et comme les bases sont égales, les exposants sont égaux ! \[\log_{c}\left(x\right) \cdot \log_{d}\left(c\right) = \log_{d}\left(x\right)\]En divisant chaque côté par \(\log_{d}\left(c\right)\), on obtient \[\log_{c}\left(x\right) = \frac{\log_{d}\left(x\right)}{\log_{d}\left(c\right)}\]On note qu’en divisant, si \(c \neq 1\), alors \(\log_{d}\left(c\right) \neq 0\).

Références : [1] Barbeau,Edward J.  (2000), Mathematical Fallacies, Flaws, and Flimflam

Freiling, Chris, The Change of Base Formula for Logarithms, College Mathematics Journal 17 (1986), p413

Il faut parfois faire attention de ne pas sauter trop rapidement aux conclusions. Trop habitués aux exercices prévisibles des manuels et cahiers, il peut parfois être déroutant de tomber sur quelque chose de rafraîchissant (au fait, ça en dit long sur les exercices qu’on présente aux élèves).

À l’aide aux devoirs la semaine passée :

Trouver l’aire d’un octogone régulier de côté \(1\).

Le hic, c’est que la question est posée en deuxième secondaire. La réponse d’un de mes collègues (et la mienne de prime abord, je dois l’avouer) : hummm, il doit y avoir une erreur… c’est un problème de quatrième secondaire, tu as besoin de la trigonométrie (tangente) pour y arriver. En plus, tu n’as pas vu la relation de Pythagore… impossible à faire !

En effet, en utilisant la tangente pour trouver la mesure de l’apothème, c’est facile. Comment faire autrement, avec pour seuls concepts ceux vus en deuxième secondaire ? Ah ! Mais en utilisant un peu de symétrie, on peut se concentrer sur le quart de la figure.
On peut compléter la figure pour obtenir un carré. Il suffirait de soustraire l’aire du triangle rectangle blanc au grand carré. Les angles intérieurs et extérieurs sont au programme du premier cycle. L’angle extérieur d’un octogone régulier étant \(45^{\circ}\), ce triangle blanc est un triangle rectangle isocèle (on aurait pu aussi réfléchir davantage à la symétrie de la figure au lieu de passer par les angles extérieurs).

Comment trouver les dimensions du triangle (sans Pythagore) ? On construit un carré en effectuant la réflexion du triangle. Le carré étant un losange, et l’aire des figures étant au programme de deuxième secondaire, on calcule l’aire du carré avec ses diagonales : \[A_{\text{carré}} = \frac{1\times 1}{2} = \frac{1}{2}\]et la mesure du son côté \begin{align*}c^{2}&= \frac{1}{2} \\ \\ \\ c &= \sqrt{\frac{1}{2}} \\ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}(en deuxième secondaire on utilise la calculatrice ici et on termine avec des valeurs approximatives.) L’aire du grand carré est donc : \[\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = \frac{3+2\sqrt{2}}{4}\]On soustrait l’aire du triangle (la moitié de l’aire du carré, c’est-à-dire \(\frac{1}{4}\)) \begin{align*}\frac{3+2\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{4} &= \frac{2+2\sqrt{2}}{4} \\ \\ &= \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\end{align*}et on multiplie par \(4\) pour obtenir l’aire de l’octogone complet \[\frac{1+\sqrt{2}}{2} \times 4 = 2 + 2\sqrt{2}\]Et voilà !