Category: Mathématiques

Dans les deux cas, il suffit de déplacer les gros points colorés.

 

Ici n’oubliez pas que des parallélogrammes de même base et de même hauteur ont la même aire.

So it’s true, the diagonal of a pentagon can be expressed in terms of square roots. In particular, it’s easy to see from the expression \[d = \frac{1}{2}\left(1 + \sqrt{5}\right)\]that \(d\) is an irrational number, approximately \(1,\!618\). Of course, we could also have obtained that information directly from \[d(d-1) = 1\]In fact, the two expressions are equivalent in every way and tell us exactly the same things about \(d\). There is not the slightest difference in mathematical content in the two.

I suppose the cynical view of the situation would be that we have expended a great deal of effort to go precisely nowhere. We began with a description of \(d\) as “the number that when multiplied by one less than itself equals 1”, and we ended with \(d\) as “half of one more than the number whose square is 5”. That’s progress ? If all the information about \(d\) is contained in the original equation, why did we bother solving it ? 

On the other hand, why bother baking bread ? We could just eat the raw ingredients.

The point of doing algebra is not to solve equations; it’s to allow us to move back and forth between several equivalent representations, depending on the situation at hand and depending on our taste. In this sense, all algebraic manipulation is psychological. The numbers are making themselves known to us in various ways, and each different representation has its own feel to it and can give us ideas that might not occur to us otherwise.

Paul Lockhart, Measurement, Belknap Press, 2012

Gauss never pursued the matter. Ayoub speculates that Gauss “did not attach very much importance to solvability by radicals,” referring again to Gauss’s [1799] dissertation, in which he wrote :

what is called a solution to an equation is, in reality, nothing but the reduction of the equation to prime equations – the solution is not exhibited but symbolized – and if you express a root of the equation \[x^{n} = H\]by \[x = \sqrt[n]{H}\]you have not solve it nor done anything more than if you devise some symbol to denote a root of the equation \[x^{n} + Ax^{n-1} + \ \dots \ = 0\]and place the root equal to this symbol…

Ron Irving, Beyond the Quadratic Formula, MAA Press, 2013

Raymond G. Ayoub (1980), Paolo Ruffini’s contributions to the quintic, Archive for History of Exact Sciences  23

J’adore faire des conjectures avec les élèves. Il y a beaucoup de conjectures simples, avec les nombres entiers, fort pertinentes à présenter. Je discutais avec un collègue qui allait donner la situation suivante à des élèves de deuxième secondaire en cheminement particulier :

Écrivez un nombre à trois chiffres. Faites la somme des chiffres. Soustrayez la somme à votre nombre original.

Les élèves doivent ensuite établir une conjecture sur le résultat (il est important de dire qu’ils ont vu récemment les critères de divisibilité, alors ces outils sont frais dans leur tête). \begin{align*}  472 \\ \\ 4 + 7 + 2 &= 13 \\ \\ 472-3 &= 459\end{align*} ou \begin{align*}231 \\ \\ 2 + 3 + 1 &=6 \\ \\ 231-6 &=225 \end{align*}La plupart des élèves y arrivent, enthousiastes, après plusieurs essais, en consignant systématiquement les résultats de leurs essais et leurs diviseurs : le résultat est toujours divisible par \(9\). La preuve pour cette conjecture (pour les plus vieux) n’est pas difficile. Si le nombre de départ est « \(abc\) » alors on a\begin{align*}100a + 10b + c-(a + b + c) &= 99a + 9b \\ \\ &=9(11a + b)\end{align*}Voilà !

L’intrigue se corse

Pour vérifier si un nombre se divise par \(9\), on fait la somme de ses chiffres. Si la somme se divise par \(9\), alors le nombre se divise par \(9\). Après de nombreux essais, un des élèves y est allé d’une conjecture plus forte : la somme des chiffres du résultat est toujours \(9\).

Ça fonctionne avec le nombre \(231\) ci-dessus (qui donne \(225\) comme résultat, c’est-à-dire qu’on a \(2+2+5 =9\)), et ça fonctionnait avec les exemples de l’élève… mais il est effectivement possible de trouver au moins une somme autre que \(9\) comme avec le nombre \(472\) ci-dessus (qui donne \(459\) comme résultat et \(4 +5+9=18\)). La conjecture plus forte tombe.

Qu’en est-il dans ce cas ? Est-ce toujours \(9\) ou \(18\) ? Ou peut-on trouver une autre somme (toujours divisible par \(9\))? En essayant de vérifier tout cela pendant la pause du dîner, je me suis rendu compte qu’il fallait considérer quelques petites subtilités. On exprime d’abord le résultat comme \begin{align*}99a + 9b &=100a+10b-a-b \\ \\ &=10a+10b-(a+b)\end{align*}afin de faire apparaître (tranquillement) les chiffres du nombre résultant. Or, on ne peut pas avoir un chiffre « négatif » à la position des unités. On doit « monnayer » des dizaines. En effet, puisque\[1\leq a \leq 9\](c’est un nombre à trois chiffres) et\[0 \leq b \leq 9\]on a\[1 \leq a+b \leq 18\]et on doit, selon les valeurs de a et b monnayer une ou deux dizaines.

Premier cas : \(1\leq b\) et \(2 \leq a + b\leq 10\)

On doit changer une dizaine en unités.\begin{align*}100a + 10b-(a + b) &= 100a + 10(b-1) + 10-(a + b) \\ \\ &= 100a + 10(b-1) + (10-(a +b))\end{align*}La somme des chiffres donne\begin{align*}a + (b-1) + (10-(a + b)) &= a + b-1 + 10-a-b \\ \\ &= 9\end{align*}

Deuxième cas : \(2 \leq b\) et \(11 \leq a + b\leq 18\)

On doit changer deux dizaines.\begin{align*}100a+10b-(a+b)&=100a+10(b-2)+20-(a+b) \\ \\ &=100a + 10(b-2) + (20-(a + b))\end{align*}La somme des chiffres donne\begin{align*}a+(b-2)+(20-(a+b)) &= a+ b-2 + 20-a-b \\ \\ &= 18\end{align*}

Mais qu’arrive-t-il si on ne peut “monnayer” une ou deux dizaines ? Par exemple si \(b=0\). On doit emprunter aux centaines !

Troisième cas : \(b = 0\) et donc \(1 \leq a + b\leq 9\)

On a besoin d’une dizaine (et une seule) qu’on va chercher dans les centaines.\begin{align*}100a + 10b-(a+b) &= 100a + 0-a \\ \\ &= 100(a-1) + 10(10)-a \\ \\ &=100(a-1) + 10(9) + 10-a \\ \\ &=100(a-1) + 10(9) + (10-a)\end{align*}La somme des chiffres donne\begin{align*}(a-1) + (9) + (10-a) &= a-1+9+10-a \\ \\ &=18\end{align*}

Et c’est fini ! C’est le seul cas où on emprunte aux centaines.

Les deux seules sommes possibles sont donc 9 et 18.