Les probabilités sont riches en résultats mystifiants et contre-intuitifs. Et tous ces résultats sont à notre portée, tels quels, sans artifice. Imaginez alors lorsqu’on « arrange » les nombres dans un problème de probabilités (un peu comme, en deuxième secondaire, lorsqu’on demande aux élèves de calculer l’aire et la circonférence d’un cercle de rayon \(2\) et qu’ils obtiennent, incrédules, le même nombre) cela peut devenir particulièrement troublant pour l’esprit.
Exemple :
On lance un dé régulier à six faces \(11\) fois. Quelle est la probabilité d’obtenir un six exactement une fois dans cette séquence de \(11\) lancers ?
À chaque lancer, la probabilité d’obtenir un six est évidemment \(\frac{1}{6}\). À chaque lancer, la probabilité d’obtenir autre chose qu’un \(6\), soit un \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) ou \(5\), est \(\frac{5}{6}\). Il faut obtenir une fois un six et dix fois autre chose. Il y a \(11\) façons différentes d’obtenir un et un seul six (et dix fois autre chose) dans cette séquence. Les \(11\) séquences possibles sont les suivantes :
ABBBBBBBBBB BABBBBBBBBB BBABBBBBBBB
BBBABBBBBBB BBBBABBBBBB BBBBBABBBBB
BBBBBBABBBB BBBBBBBABBB BBBBBBBBABB
BBBBBBBBBAB BBBBBBBBBBA
où A est correspond à {Obtenir un \(6\)} et B correspond à {Obtenir autre chose qu’un \(6\)}.
Les mathématiciens possèdent un outil, le coefficient binomial, qui leur permet d’obtenir ce résultat sans dénombrer tous les résultats possibles. Ils savent qu’il y a \(11\) façons d’obtenir un six parmi \(11\) lancers puisque \[\binom{11}{1} = \frac{11!}{1!\ (11-1)!} = 11\]La probabilité d’obtenir exactement un six est donc \begin{align*}p\left(\text{un six}\right) &= 11 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{10}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{1} \\ \\ &= \frac{107\,421\,875}{362\,797\,056} \\ \\ &\approx 0,\!29609\end{align*}Donc un peu moins de \(30\%\). Soit.
On lance un dé régulier à six faces \(11\) fois. Quelle est la probabilité d’obtenir un six exactement deux fois dans cette séquence de \(11\) lancers ?
La probabilité d’obtenir deux six est sûrement moindre. Plus on doit obtenir de 6, moins la probabilité est grande : comme preuve, la probabilité d’obtenir onze six est minuscule (c’est environ \(0,\!000000002756\)) ! Enfin… La probabilité d’obtenir un six à chaque lancer n’a pas changée : c’est \(\frac{1}{6}\). La probabilité d’obtenir autre chose qu’un six, à chaque lancer, elle aussi n’a pas changée : c’est \(\frac{5}{6}\). Il faut obtenir deux fois un six et neuf fois autre chose dans cette séquence. Il y a aussi \[\binom{11}{2}=\frac{11!}{2!\ (11-2)!}=55\]séquences différentes possibles qui nous permettent d’obtenir deux six parmi \(11\) lancers. Les voici :
où A est correspond à {Obtenir un \(6\)} et B correspond à {Obtenir autre chose qu’un \(6\)}.
La probabilité d’obtenir exactement deux six dans cette séquence est donc \begin{align*}p\left(\text{deux six}\right) &= 55 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{9}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2} \\ \\ &= \frac{107\,421\,875}{362\,797\,056} \\ \\ &\approx 0,\!29609\end{align*}La probabilité d’obtenir un six est égale à la probabilité d’obtenir deux six, soit un peu moins de \(30\%\). Surprenant !