Ces probabilités incompréhensibles…

Les probabilités sont riches en résultats mystifiants et contre-intuitifs.  Et tous ces résultats sont à notre portée, tels quels, sans artifice.  Imaginez alors lorsqu’on « arrange » les nombres dans un problème de probabilités (un peu comme, en deuxième secondaire, lorsqu’on demande aux élèves de calculer l’aire et la circonférence d’un cercle de rayon $2$ et qu’ils obtiennent, incrédules, le même nombre) cela peut devenir particulièrement troublant pour l’esprit.

Exemple :

On lance un dé régulier à six faces $11$ fois.  Quelle est la probabilité d’obtenir un six exactement une fois dans cette séquence de $11$ lancers ?

À chaque lancer, la probabilité d’obtenir un six est évidemment $\frac{1}{6}$.  À chaque lancer, la probabilité d’obtenir autre chose qu’un $6$, soit un $1$, $2$, $3$, $4$ ou $5$, est $\frac{5}{6}$. Il faut obtenir une fois un six et dix fois autre chose.   Il y a $11$ façons différentes d’obtenir un et un seul six (et dix fois autre chose) dans cette séquence.  Les $11$ séquences possibles sont les suivantes :

ABBBBBBBBBB    BABBBBBBBBB    BBABBBBBBBB

BBBABBBBBBB    BBBBABBBBBB   BBBBBABBBBB

BBBBBBABBBB   BBBBBBBABBB    BBBBBBBBABB

BBBBBBBBBAB   BBBBBBBBBBA

où A est correspond à {Obtenir un $6$} et B correspond à {Obtenir autre chose qu’un $6$}.

Les mathématiciens possèdent un outil, le coefficient binomial, qui leur permet d’obtenir ce résultat sans dénombrer tous les résultats possibles.  Ils savent qu’il y a $11$ façons d’obtenir un six parmi $11$ lancers puisque $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{1})=\frac{11!}{1!(11-1)!}=11$$La probabilité d’obtenir exactement un six est donc $$\begin{array}{rl}p\left(\text{un six}\right)& =11\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{10}\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^1\\ \\ & =\frac{107421875}{362797056}\\ \\ & \approx 0,29609\end{array}$$Donc un peu moins de $30\mathrm{\%}$.  Soit.

On lance un dé régulier à six faces $11$ fois.  Quelle est la probabilité d’obtenir un six exactement deux fois dans cette séquence de $11$ lancers ?

La probabilité d’obtenir deux six est sûrement moindre.  Plus on doit obtenir de 6, moins la probabilité est grande : comme preuve, la probabilité d’obtenir onze six est minuscule  (c’est environ $0,000000002756$) !  Enfin…  La probabilité d’obtenir un six à chaque lancer n’a pas changée : c’est $\frac{1}{6}$.  La probabilité d’obtenir autre chose qu’un six, à chaque lancer, elle aussi n’a pas changée : c’est $\frac{5}{6}$.  Il faut obtenir deux fois un six et neuf fois autre chose dans cette séquence.  Il y a aussi $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2})=\frac{11!}{2!(11-2)!}=55$$séquences différentes possibles qui nous permettent d’obtenir deux six parmi $11$ lancers.  Les voici :

où A est correspond à {Obtenir un $6$} et B correspond à {Obtenir autre chose qu’un $6$}.

La probabilité d’obtenir exactement deux six dans cette séquence est donc $$\begin{array}{rl}p\left(\text{deux six}\right)& =55\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^9\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^2\\ \\ & =\frac{107421875}{362797056}\\ \\ & \approx 0,29609\end{array}$$La probabilité d’obtenir un six est égale à la probabilité d’obtenir deux six, soit un peu moins de $30\mathrm{\%}$. Surprenant !