Découpage

Voici une solution simple et élégante au problème difficile suivant : découpez un carré en triangles acutangles. Si vous n’aviez jamais rencontré ce problème, je vous conseille de chercher un peu par vous-même. C’est plus difficile que ça en a l’air ! Commencez peut-être par chercher une solution à $14$ triangles ou plus.

La solution suivante vient de David Eppstein et elle ne comporte que $8$ triangles (pourrait-on trouver une solution comportant moins de $8$ triangles ?)

Considérons le carré $ABCD$. Identifiez les points milieux $E$ de $\overline{AD}$, $G$ de $\overline{CD}$, $F$ de $\overline{BC}$ et $J$ de $\overline{AB}$. Identifiez aussi les points milieux $H$ de $\overline{DG}$ et $I$ de $\overline{CG}$. Tracez ensuite les cercles de centre $E$ et de rayon $AE$, de centre $F$ et de rayon $BF$, de centre $H$ et de rayon $DH$ et de centre $I$ et de rayon $CI$. Tel qu’illustré ci-dessous, considérez un point $K$ dans la zone extérieure aux quatre cercles. Considérez aussi un deuxième point $L$ dans cette même zone, de l’autre côté de $\overline{GJ}$ que $K$, et de telle sorte que le segment $KL$ soit parallèle à $\overline{DC}$.

 

Puisque le point $K$ est à l’extérieur des cercles, cela nous assure que les angles $DKG$ ou $DKA$ sont aigus. La même chose s’applique au point $L$. La solution est donc composée des triangles suivants, qui sont tous définitivement acutangles !