Différences de carrés

Quels nombres entiers $c>0$ peuvent s’exprimer comme une différence de carrés ? De combien de manières différentes ?  Comment trouver de telles différences, concrètement ?

Le nombre $c$ est un multiple de $4$

On considère l’expression $$\begin{array}{rl}c& =a^2-b^2\\ \\ & =(a+b)(a-b)\end{array}$$Si $a$ et $b$ sont tous les deux pairs, alors $a+b$ et $a-b$ sont pairs aussi. Et si $a$ et $b$ sont tous les deux impairs, $a+b$ et $a-b$ sont quand même pairs car la somme ou la différence de nombres impairs est paire. En d’autres mots, si $a$ et $b$ sont de même parité, $a+b$ et $a-b$ sont pairs.

On pose $$a+b=2x$$et$$a-b=2y$$On obtient $$c=(2x)(2y)=4xy$$et on déduit que $c$ est non seulement un nombre pair, c’est un multiple de $4$. Cela nous permet aussi de trouver la ou les valeurs de $a$ et $b$ pour un certain $c$. $$\begin{array}{rl}a+b& =2x\\ \\ a-b& =2y\end{array}$$En additionnant les équations on obtient $$\begin{array}{rl}2a& =2x+2y\\ \\ a& =x+y\end{array}$$ et en soustrayant les équations on obtient $$\begin{array}{rl}2b& =2x-2y\\ \\ b& =x-y\end{array}$$Ainsi, si on désire exprimer un multiple de $4$ comme une différence de carrés, on doit d’abord factoriser le nombre comme un produit de deux nombres pairs $2x$ et $2y$ afin de trouver les valeurs de $x$ et de $y$, puis celles de $a$ et $b$. Il y a autant de différences différentes que de produits de facteurs pairs différents. Un exemple numérique s’impose.

Le nombre  $312$ s’exprime-t-il comme une différence de carrés ? De combien de manières différentes ? On note que $$\begin{array}{rl}312& =156\times 2\\ \\ & =78\times 4\\ \\ & =52\times 6\\ \\ & =26\times 12\end{array}$$(Notez que des produits tels que $321=39\times 8$ ou $312=24\times 13$ n’apparaissent pas dans la liste car dans ces produits un des deux facteurs est impair.) Le produit $$312=156\times 2=2(78)\times 2(1)$$nous donne les valeurs de $x=78$ et $y=1$, puis de $$a=78+1=79$$ et $$b=78-1=77$$ et la différence $$312={79}^2-{77}^2$$Le deuxième produit $$312=78\times 4=2(39)-2(2)$$génère les valeurs $x=39$ et $y=2$ et donc $$a=39+2=41$$ et $$b=39-2=37$$ menant à la différence $$312={41}^2-{37}^2$$Enfin, les deux derniers produits $$312=52\times 6=2(26)\times 2(3)$$et $$312=26\times 12=2(13)\times 2(6)$$nous permettent de déduire les valeurs de $x$, $y$, $a$ et $b$ afin d’obtenir les différences $$312={29}^2-{23}^2$$et$$312={19}^2-7^2$$Ce sont les quatre différences correspondant aux quatre produits.

On considère la factorisation première de $c$ $$c=2^{\alpha }\cdot p_0^{\beta }\cdot p_1^{\gamma }\dots p_n^{\omega }$$dans laquelle les $p_i$ sont les facteurs premiers impairs. On peut trouver le nombre de différences (qui est égal au nombre de produits) en calculant le nombre de diviseurs (mais en réservant tout de même deux facteurs $2$ pour s’assurer d’avoir deux facteurs pairs) et en divisant par $2$ pour obtenir des paires de diviseurs. Le nombre de différences correspond donc à $$\mathrm{\#}=\frac{(\alpha -2+1)(\beta +1)(\gamma +1)\dots (\omega +1)}{2}$$si le nombre n’est pas un carré parfait. Si le nombre est un carré parfait qui se divise par $4$, il possède un nombre impair de diviseurs et on utilise $$\mathrm{\#}=\frac{(\alpha -2+1)(\beta +1)(\gamma +1)\dots (\omega +1)-1}{2}$$En outre, on peut éviter cette exception ingrate des carrés parfaits avec une partie entière : $$\mathrm{\#}=\left[\frac{(\alpha -2+1)(\beta +1)(\gamma +1)\dots (\omega +1)}{2}\right]$$ dans laquelle $[x]$ est la partie entière de $x$ (généralement notée $\lfloor x\rfloor$ par les anglais).

Le nombre $c$ est impair

$$\begin{array}{rl}c& =a^2-b^2\\ \\ & =(a+b)(a-b)\end{array}$$Si $a$ et $b$ sont de parités différentes, alors $a+b$ et $a-b$ sont tous les deux impairs. On déduit que le nombre $c$ est le produit de deux nombres impairs : c’est donc un nombre impair. On peut poser $$a+b=2x+1$$ et $$a-b=2y+1$$ et à l’instar de ce qu’on a fait précédemment, on peut résoudre le système d’équations $$\begin{array}{rl}a+b& =2x+1\\ \\ a-b& =2y+1\end{array}$$Si on additionne les deux équations, on obtient $$2a=2x+2y+2$$ce qui fait $$a=x+y+1$$et si on soustrait les deux équations on obtient $$2b=2x+1-(2y+1)=2x-2y$$ce qui fait $$b=x-y$$Ainsi, si on désire exprimer un nombre impair comme une différence de carrés, on doit d’abord factoriser le nombre en deux facteurs impairs afin de trouver les valeurs de $x$ et de $y$ puis de celles de $a$ et $b$. Il y a autant de différences différentes que de produits de facteurs impairs différents.

Le nombre $105$ s’exprime-t-il comme une différence de carrés ? On note que $$\begin{array}{rl}105& =105\times 1\\ \\ & =35\times 3\\ \\ & =21\times 5\\ \\ & =15\times 7\end{array}$$Le premier produit $$105=105\times 1$$ peut sembler trivial, mais en posant $2x+1=105$, on obtient $x=52$, puis en posant $2y+1=1$, on obtient $y=0$. Cela nous permet ensuite de calculer les valeurs de $a=52+0+1=53$ et de $b=52-0=52$ ce qui nous donne la différence de carrés $$105={53}^2-{52}^2$$(On note au passage que tout nombre impair s’exprime toujours comme la différence des carrés de deux nombres consécutifs car $$\begin{array}{rl}(k+1{)}^2-k^2& =k^2+2k+1-k^2\\ \\ & =2k+1\end{array}$$Ainsi, le $k^{\text{e}}$ nombre impair est la différence entre le $k^{\text{e}}$ carré et le $(k-1{)}^{\text{e}}$ carré.)

Le deuxième produit $$105=35\times 3$$nous permet de poser $2x+1=35$ et trouver $x=17$ et $2y+1=3$ et trouver $y=1$. Cela nous permet ensuite de calculer $a=17+1+1=19$ et $b=17-1=16$ afin de trouver la différence $$105={19}^2-{16}^2$$Le produit $$105=21\times 5$$nous permet quant à lui de poser $2x+1=21$ et trouver $x=10$ et $2y+1=5$ et trouver $y=2$. Le calcul de $a=10+2+1=13$ et de $b=10-2=8$ génère la différence $$105={13}^2-8^2$$Enfin, le produit $$105=15\times 7$$nous permet de générer la différence $$105={11}^2-4^2$$

On considère la factorisation première de $c$ $$c=p_0^{\alpha }\cdot p_1^{\beta }\cdot p_2^{\gamma }\dots p_n^{\omega }$$dans laquelle les $p_i$ sont les facteurs premiers impairs (notez l’absence de facteur $2$). À l’instar de ce qu’on a fait dans la section précédente, on calcule la moitié du nombre de diviseurs $$\mathrm{\#}=\frac{(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)\dots (\omega +1)}{2}$$si le nombre n’est pas un carré parfait. Si le nombre est un carré parfait impair, on utilise $$\mathrm{\#}=\frac{(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)\dots (\omega +1)-1}{2}$$On évite encore l’exception des carrés parfaits avec une partie entière : $$\mathrm{\#}=\left[\frac{(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)\dots (\omega +1)}{2}\right]$$

En corolaire, puisque qu’un nombre premier ne se divise que par $1$ et lui-même, un seul produit est possible, un produit de la forme $$c=p\times 1$$et donc tout nombre premier impair peut être représenté comme une différences de carrés de manière unique. Quelques étapes algébriques nous permettent de trouver $$\begin{array}{rl}2x+1& =p\\ \\ x& =\frac{p-1}{2}\\ \\ \\ 2y+1& =1\\ \\ y& =0\\ \\ \\ a& =x+y+1\\ \\ & =\frac{p-1}{2}+0+1\\ \\ & =\frac{p+1}{2}\\ \\ \\ b& =x-y\\ \\ & =\frac{p-1}{2}-0\\ \\ & =\frac{p-1}{2}\end{array}$$Ainsi, $$p={\left(\frac{p+1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{p-1}{2}\right)}^2$$Le lecteur aguerri aura remarqué que puisque l’écart entre les nombres $\frac{p+1}{2}$ et $\frac{p-1}{2}$ est $1$, cela correspond à une différence des carrés de deux nombres consécutifs tel que vu plus haut, et donc pour un nombre premier impair $p$, il s’agit de la seule différence possible.

Le nombre $c$ est un nombre pair qui ne se divise pas par $4$

Les nombres pairs non-divisibles par $4$ sont les laissés-pour-compte.$$\begin{array}{rl}c& =a^2-b^2\\ \\ & =(a+b)(a-b)\end{array}$$

Si $c$ est un nombre pair qui ne se divise pas par $4$, alors $c$ comporte dans sa factorisation première un seul et unique facteur $2$. Cela implique que $a+b$ est pair et $a-b$ est impair ou inversement, $a+b$ est impair et $a-b$ est pair. En d’autres mots, $a+b$ et $a-b$ sont de parités différentes.

Si $a+b$ est pair, alors $a$ et $b$ sont de même parité. Dans ce cas, $a-b$ doit être impair, et $a$ et $b$ doivent être de parités différentes, une contradiction.

Si $a+b$ est impair, alors $a$ et $b$ sont de parités différentes. Dans ce cas, $a-b$ doit être pair, et $a$ et $b$ doivent être de même parité, une contradiction.

En outre, dans le cas d’un nombre pair non divisible par $4$, il n’y a aucune différence de carrés possible.