La distance d’un point à une droite dans le plan (bis)

Nous avons déjà vu sur ce blogue une preuve de la formule de la distance d’un point à une droite dans le plan cartésien lorsque l’équation de la droite est donnée sous la forme générale$$Ax+By+C=0$$Mon collègue Dominik m’a partagé cette preuve dans laquelle l’équation de la droite est sous la forme fonctionnelle $$y=ax+b$$La preuve est courte, implique peu de calculs, et est essentiellement géométrique. Elle est plus simple et plus élégante. On considère donc un point $P$ de coordonnées $(x_0,y_0)$ et une droite $D_1$ dans le plan.

La distance de $P$ à $D_1$ correspond à la mesure du segment $AP$ dans la figure. On place ensuite $B$ et $C$ sur $D_1$ de telle sorte que $B$ ait la même abscisse que $P$ et $C$ ait la même ordonnée que $P$. En d’autres mots, on forme un triangle $BPC$ rectangle en $P$ et dont les cathètes $BP$ et $CP$ sont parallèles aux axes (respectivement des abscisses et des ordonnées). Le segment $AP$ est une hauteur issue de l’angle droit (ou relative à l’hypoténuse) du triangle rectangle $BPC$. Une telle hauteur forme des triangles semblables. En particulier, les triangles $BPC$ et $PAC$ sont semblables. Comme $C$ est sur $D_1$ et qu’il possède la même abscisse que $P$, on trouve que ses coordonnées sont $$C(x_0,a{x}_0+b)$$et on trouve aussi que la mesure du segment vertical $CP$ est $$|a{x}_0+b-y_0|$$

On place ensuite $D$ sur $BP$ à une unité de $B$. On place $E$ sur $D_1$ de manière à former un autre triangle $BDE$ rectangle en $D$. Comme dans la forme fonctionnelle le coefficient $a$ correspond à la pente de la droite, on trouve immédiatement que $DE$ a pour mesure $|a|$. Il s’en suit aussi qu’avec Pythagore,$$m\overline{EB}=\sqrt{1+a^2}$$(la valeur absolue étant maintenant superflue avec le carré)

Par le cas de similitude AA les triangles $BDE$ et $BPC$ sont semblables. Par transitivité, on trouve aussi que les triangles $BDE$ et $PAC$ sont semblables. Avec la proportion $$\frac{m\overline{AP}}{m\overline{DB}}=\frac{m\overline{CP}}{m\overline{EB}}$$on trouve en remplaçant $$\frac{m\overline{AP}}{1}=\frac{|a{x}_0+b-y_0|}{\sqrt{1+a^2}}$$c’est-à-dire avec la notation habituelle $$d(P,D_1)=\frac{|a{x}_0+b-y_0|}{\sqrt{1+a^2}}$$