La méthode somme-produit

Problème : il faut factoriser $$6x^2-13x-5$$

Avec de petits nombres entiers, une des premières méthodes que l’on montre aux élèves est la méthode somme-produit.  On cherche deux nombres dont la somme est $-13$ et le produit est $6\times (-5)=-30$. Comme le produit est négatif, je cherche deux nombres de signes contraires.  Après avoir cherché du côté des facteurs de $30$, je trouve $-15$ et $2$.  En effet, $$-15+2=-13$$et $$-15\times 2=-30$$Je peux donc « désimplifier » le terme en $x$ et écrire $$6x^2+2x-15x-5$$afin d’effectuer une mise en évidence double.  C’est-à-dire $$2x(3x+1)-5(3x+1)$$puis $$(3x+1)(2x-5)$$Or, comme le mentionne avec pertinence James Tanton, si on demande à des enseignants du secondaire

pourquoi ça marche ?

on obtient généralement une réponse qui ressemble à ceci :  on commence avec $$(ax+b)(cx+d)$$où $a$, $b$, $c$, et $d$ sont des entiers.  On effectue le produit $$a{x}^2+(ad+bc)x+bd$$Le coefficient du terme du premier degré est composé de la somme de deux nombres, à savoir $ad$ et $bc$.  On voit aussi que le produit du coefficient du terme du deuxième degré et du terme constant est égal au produit de ces deux nombres $$ad\cdot bc=ac\cdot bd$$la multiplication étant commutative et associative.

Et voilà pourquoi ça marche !

Or cela ne répond pas effectivement à la question.  On montre en réalité la réciproque de l’énoncé initial.  Comme le souligne Tanton, il serait important (au moins pour l’enseignant, pas pour l’élève) de montrer l’implication directe.  C’est-à-dire que si l’on a $$a{x}^2+bx+c$$et que $$b=p+q$$et $$ac=pq$$et où $a$, $b$, $c$, $p$ et $q$ sont des entiers, alors le trinôme se décompose en deux facteurs à coefficients entiers.

On a donc $$a{x}^2+(p+q)x+c$$ $$a{x}^2+px+qx+c$$On pose $j$ comme le plus grand commun diviseur de $a$ de $p$.  On a donc $$a=jk$$pour un certain entier $k$.  Comme $ac=pq$, on a $$jkc=pq$$Évidemment, $j$ divise $p$, donc $\frac{p}{j}$ est un entier. Or, comme $k$ ne divise pas $\frac{p}{j}$ , mais que $$kc=\frac{p}{j}q$$alors on a que $k$ divise $q$. C’est-à-dire que $\frac{q}{k}$ est aussi un entier et que $$c=\frac{p}{j}\cdot \frac{q}{k}$$On a donc $$jk{x}^2+px+qx+\frac{p}{j}\cdot \frac{q}{k}$$et en effectuant une mise en évidence double $$jx(kx+\frac{p}{j})+\frac{q}{k}(kx+\frac{p}{j})$$on obtient $$(kx+\frac{p}{j})(jx+\frac{q}{k})$$c’est-à-dire deux facteurs à coefficients entiers.