L’astroïde

L’astroïde est la trace du point $P$ d’un cercle de rayon ${\displaystyle \frac{R}{4}}$ qui roule sans glisser à l’intérieur d’un cercle de rayon $R$.

Sur la figure : le grand cercle rayon $OB$, de centre $O$, le petit cercle rayon $AP$, de centre $A$, avec $$m\overline{AP}=\frac{1}{4}m\overline{OB}$$qui roule sans glisser à l’intérieur du grand cercle.  On considère la trace du point $P$.  On remarque que le centre $A$ du petit cercle décriera une trajectoire telle qu’un cercle de rayon $$r=\frac{3}{4}m\overline{OB}$$et de centre $O$ (en pointillé sur la figure).  Le point $E$ est le point de tangence entre les petit et grand cercles.

L’angle $\alpha$ est l’angle que forme le centre $A$ du petit cercle, le centre $O$ du grand cercle et l’axe des abscisses (en vert sur la figure, l’angle $AOB$, calculé dans le sens habituel, anti-horaire).  En traçant la droite $AD$ parallèle à l’axe, on obtient des angles correspondants isométriques.  L’angle $EAD$ a donc lui aussi pour mesure $\alpha$.  En posant $$\phi =m\mathrm{\angle }DAP$$calculé dans le sens horaire, on obtient $$m\mathrm{\angle }EAP=\alpha +\phi$$Enfin, avec $$m\overline{OB}=R$$on peut trouver les coordonnées du point $A$ $$(\frac{3}{4}R\cos (\alpha ),\frac{3}{4}R\sin (\alpha ))$$et celles de $P$ $$(\frac{3}{4}R\cos (\alpha )+\frac{1}{4}\cos (\phi ),\frac{3}{4}R\sin (\alpha )-\frac{1}{4}R\sin (\phi ))$$ou en effectuant la mise en évidence : $$(\frac{R}{4}(3\cos (\alpha )+\cos (\phi )),\frac{R}{4}(3\sin (\alpha )-\sin (\phi )))$$(Remarquez que, les angles étant orientés, $\alpha$ dans le sens anti-horaire et $\phi$ dans le sens horaire, on additionne $\frac{R}{4}\cos (\phi )$ à l’abscisse et on soustrait $\frac{R}{4}\sin (\phi )$ à l’ordonnée.)

Comme le cercle roule sans glisser, on trouve aussi que les mesures des arcs $EB$ et $EDP$ sont égales.  On a $$m\stackrel{⌢}{EDP}=\frac{R}{4}(\alpha +\phi )$$et $$m\stackrel{⌢}{EB}=R\alpha$$Cela nous permet d’écrire $$\frac{R}{4}(\alpha +\phi )=R\alpha$$ce qui fait $$\alpha +\phi =4\alpha$$et donc $$\phi =3\alpha$$Il nous est donc possible de réécrire l’expression pour les abscisses $$x=\frac{R}{4}(3\cos (\alpha )+\cos (\phi ))$$et les ordonnées$$y=\frac{R}{4}(3\sin (\alpha )-\sin (\phi ))$$du point point $P$ de l’astroïde en fonction de l’angle $\alpha$ seulement.  On obtient $$x=\frac{R}{4}(3\cos (\alpha )+\cos (3\alpha ))$$et $$y=\frac{R}{4}(3\sin (\alpha )-\sin (3\alpha ))$$Or, comme $$\cos (3x)=4{\cos }^3(x)-3\cos (x)$$et $$\sin (3x)=3\sin (x)-4{\sin }^3(x)$$on peut substituer les expressions $\cos (3\alpha )$ et $\sin (3\alpha )$ dans les équations précédentes.  On obtient pour les abscisses $$x=\frac{R}{4}(3\cos (\alpha )+4{\cos }^3(\alpha )-3\cos (\alpha ))$$ce qui se simplifie d’abord à$$x=\frac{R}{4}(4{\cos }^3(\alpha ))$$puis à$$x=R{\cos }^3(\alpha )$$On obtient pour les ordonnées $$y=\frac{R}{4}(3\sin (\alpha )-(3\sin (\alpha )-4{\sin }^3(\alpha )))$$ce qui fait d’abord$$y=\frac{R}{4}(3\sin (\alpha )-3\sin (\alpha )+4{\sin }^4(\alpha ))$$puis $$y=\frac{R}{4}(4{\sin }^3(\alpha ))$$et enfin tout simplement $$y=R{\sin }^3(\alpha )$$Les équations $$x=R{\cos }^3(\alpha )$$et $$y=R{\sin }^3(\alpha )$$sont les équations paramétriques de l’astroïde.  On peut trouver la forme cartésienne générale comme suit.  Dans l’équation des abscisses, on divise les deux côtés par $R$ $$\frac{x}{R}={\cos }^3(\alpha )$$puis on prend la racine cubique $$\sqrt[3]{\frac{x}{R}}=\cos (\alpha )$$que l’on peut aussi écrire $$\frac{x^{\frac{1}{3}}}{R^{\frac{1}{3}}}=\cos (\alpha )$$On élève au carré $${\left(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{R^{\frac{1}{3}}}\right)}^2={\cos }^2(\alpha )$$ce qui fait$$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{R^{\frac{2}{3}}}={\cos }^2(\alpha )$$On procède ensuite avec les ordonnées, en divisant par $R$ $$\frac{y}{R}={\sin }^3(\alpha )$$puis en prenant la racine cubique $$\sqrt[3]{\frac{y}{R}}=\sin (\alpha )$$ce qui fait $$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{R^{\frac{1}{3}}}=\sin (\alpha )$$On élève au carré $${\left(\frac{y^{\frac{1}{3}}}{R^{\frac{1}{3}}}\right)}^2={\sin }^2(\alpha )$$que l’on peut aussi réécrire comme$$\frac{y^{\frac{2}{3}}}{R^{\frac{2}{3}}}={\sin }^2(\alpha )$$Il suffit enfin de ressortir notre bonne vieille identité trigonométrique $${\cos }^2(\alpha )+{\sin }^2(\alpha )=1$$et de judicieusement remplacer ${\cos }^2(\alpha )$ et ${\sin }^2(\alpha )$ et obtenir $$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{R^{\frac{2}{3}}}+\frac{y^{\frac{2}{3}}}{R^{\frac{2}{3}}}=1$$En multipliant chaque terme par $R^{\frac{2}{3}}$, on obtient l’équation cartésienne générale $$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=R^{\frac{2}{3}}$$dont voici la représentation graphique