
Le crible d’Érathostène est un procédé qui permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier naturel . C’est un algorithme simple et efficace. Voici ce que le génie d’Euler fait d’un algorithme simple et efficace.
Considérez la fonction ci-dessus ou On définit cette fonction pour tout . En effet pour , on retrouve la série harmonique, divergente. Pour des valeurs de comprises strictement entre et , en comparant la série précédente terme à terme avec la série harmonique, on obtient des dénominateurs systématiquement plus petits, c’est-à-dire des fractions systématiquement plus grandes. Il n’y a donc aucun doute que la série diverge lorsque s prend des valeurs strictement comprises entre et . Enfin, pour , on obtient qui diverge aussi.
Pour des valeurs de plus grandes que , la série converge. Euler a trouvé plusieurs valeurs exactes lorsque est pair, notamment lorsque (le problème de Bâle), et pour les impairs il y a encore beaucoup de questions qui résistent à l’assaut des mathématiciens. Or donc, en reprenant on commence par multiplier chaque côté par ce qui fait en distribuant On soustrait le résultat précédent à ce qui fait après une mise en évidence simple à gaucheRemarquez les dénominateurs à droite : tous les multiples de disparaissent. On multiplie le résultat obtenu par ce qui fait en distribuantOn soustrait ce nouveau résultat àafin d’obtenirAprès mise en évidence simple, on a On avait déjà éliminé tous les multiples de qui sont aussi des multiples de à la première étape. Mais il restait les multiples de non multiples de . Là on vient d’éliminer tous ces multiples. Il ne reste aucun multiple de aux dénominateurs, à droite. Une régularité commence à apparaître : c’est le crible, version améliorée (puisqu’on élimine les nombres à éliminer qu’une seule fois). On multiplie le résultat précédent par ce qui fait en distribuant Encore une fois, on soustrait ce dernier résultat à ce qui donne
Ainsi dansous les multiples de qui restaient aux dénominateurs, à droite, disparaissent. À ce moment, dans une étape typiquement eulérienne, Euler explique : en continuant de la sorte aussi longtemps qu’il le faut, en passant tour à tour les nombres premiers, on arrive à En isolant , il obtient ou plus élégamment Avec une notation plus concise, on peut même réécrire le résultat précédent comme ceci ce qui donne un produit infini étendu à tous les nombres premiers .
En se rappelant aussi que on obtient cette jolie égalitéune somme infinie à gauche et un produit infini à droite.