Le plus grand nombre inférieur à…

Quel est le plus grand nombre réel appartenant à l’intervalle ouvert $[0,1[$ ?

Autrement dit, quel est le plus grand nombre réel positif inférieur à $1$.  On suppose que ce nombre est connu, et on l’appelle $x$.  On considère le nombre$$y=\frac{x+1}{2}$$Puisque $x<1$ il est facile de voir que$$y=\frac{x+1}{2}<\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1$$c’est-à-dire que$$y\in [0,1[$$Or, il est aussi facile de voir que$$y>x$$car toujours avec $x<1$ on a$$y=\frac{x+1}{2}>\frac{x+x}{2}=\frac{2x}{2}=x$$ce qui contredit notre hypothèse de départ, à savoir que $x$ est le plus grand nombre réel positif inférieur à $1$. Conclusion ? Il n’existe pas de plus grand nombre réel positif inférieur à $1$.