Quel est le plus grand nombre réel appartenant à l’intervalle ouvert \(\left[0,\ 1\right[\) ?
Autrement dit, quel est le plus grand nombre réel positif inférieur à \(1\). On suppose que ce nombre est connu, et on l’appelle \(x\). On considère le nombre\[y = \frac{x+1}{2}\]Puisque \(x<1\) il est facile de voir que\[y=\frac{x + 1}{2}<\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1\]c’est-à-dire que\[y \in \left[0, \ 1\right[\]Or, il est aussi facile de voir que\[y>x\]car toujours avec \(x<1\) on a\[y = \frac{x+1}{2}>\frac{x+x}{2} = \frac{2x}{2} = x\]ce qui contredit notre hypothèse de départ, à savoir que \(x\) est le plus grand nombre réel positif inférieur à \(1\). Conclusion ? Il n’existe pas de plus grand nombre réel positif inférieur à \(1\).