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Ce qu’il faut savoir :
Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes ;
dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes ;
dans un triangle, les trois médianes sont concourantes.
Voilà ce qu’il faut savoir ! Eh bien commençons ! Tout point situé sur la médiatrice d’un segment est équidistant des deux extrémités du segment. Traçons la médiatrice de qui la coupe en . est un point de cette médiatrice. Montrons que Le cas est trivial si et sont confondus, point milieu de (définition de médiatrice).

Si n’est pas en , alors par définition de médiatrice, on a bien et on a aussi Puisque les triangles et partagent le côté , on trouve qu’ils sont isométriques par le cas d’isométrie CAC. Et comme dans les triangles isométriques les côtés homologues sont isométriques, on trouve La réciproque est aussi vraie. Si est équidistant de et de , on peut affirmer que En particulier, si était sur ( sur l’image), on aurait aussi Puisque les deux triangles et partagent le côté , on trouve qu’ils sont isométriques par CCC. Les angles et étant d’une part des angles homologues isométriques, et d’autre part adjacents supplémentaires, on déduit que est donc une médiatrice.
Considérons le triangle suivant. est la médiatrice de et est la médiatrice de . Les deux médiatrices se coupent en .
Puisque est la médiatrice de , on trouve Puisque est la médiatrice de , on trouve et par transitivité, on conclut que Mais cela implique donc que est situé sur le médiatrice de puisqu’il est équidistant de et de ! Les trois médiatrices se rencontrent en un point. C’était la première chose à savoir !

Portons maintenant notre attention sur le triangle suivant :

On a d’abord tracé les trois hauteurs , et . On a ensuite tracé parallèle à et passant par , parallèle à et passant par et parallèle à et passant par .
Toutes ces droites parallèles forment évidemment une panoplie d’angles alternes-internes isométriques.
Considérons les parallèles et et la sécante . Les angles et sont alternes-internes isométriques.
Considérons les parallèles et et la sécante . Les angles et sont aussi alternes-internes isométriques.
Les triangles et partagent le côté et sont donc isométriques par . Et comme dans les triangles triangles isométriques, les côtés homologues sont isométriques, on trouveConsidérons les parallèles et et la sécante . Les angles et sont alternes-internes isométriques.
Considérons à nouveau les parallèles et et la sécante . Les angles et sont alternes-internes isométriques.
Les triangles et partagent le côté et sont donc isométriques par . Et comme dans les triangles triangles isométriques, les côtés homologues sont isométriques, on trouveCela implique donc, par transitivité, que On peut dire que est le point milieu de . Par le même raisonnement, on pourrait trouver que est le point milieu de et est le point milieu de .
Comme est perpendiculaire à (définition de hauteur) et est parallèle à (par construction), on a perpendiculaire à . Par le même raisonnement, on trouve que est perpendiculaire à et est perpendiculaire à .
, et sont donc les médiatrices du triangle . Et comme les médiatrices sont concourantes, on trouve que , et , qui sont aussi les hauteurs de , se rencontrent en . Les trois hauteurs d’un triangle se rencontrent donc en un même point. C’était la deuxième chose à savoir !
Considérons maintenant le triangle suivant :
Dans le triangle , on a tracé les médianes et qui se coupent en . Traçons aussi . Par définition de médiane, on trouve que et Les triangles et partagent l’angle . Ils sont donc semblables par CAC. Puisque dans les triangles semblables les côtés homologues sont dans le même rapport, on déduit que Dans les triangles semblables, les angles homologues étant isométriques, on trouve que les angles et sont isométriques. Et puisque ces angles sont aussi correspondants, on trouve que est parallèle à (puisque des angles correspondants isométriques sont formés par des parallèles). En considérant cette dernière paire de parallèles et la sécante , on trouve que les angles et sont alternes-internes isométriques. Avec les angles et opposés par le sommet, et donc isométriques, on conclut que les triangles et sont semblables par AA. On avait déjà établit que et puisque dans les triangles semblables on observe des côtés homologues proportionnels, alors on déduit que et Les médianes se coupent donc au de leur longueur à partir du sommet (ou dans un rapport ). En répétant cette démarche avec l’autre médiane, on trouve que les médianes se rencontrent effectivement en un même point. C’était la troisième chose à savoir !
Enfin, considérons le triangle suivant :

et sont deux droites supportant les médianes se coupant en . et sont deux médiatrices se coupant en . Prolongeons jusqu’en de telle sort que On sait que On trouve aussi que l’angle est congru à l’angle puisqu’ils sont opposés par le sommet. Les triangles et sont donc semblables par le cas de similitude CAC.
Et comme dans les triangles semblables, les angles homologues sont isométriques, on trouveCela implique que les droites et sont parallèles puisque des angles alternes-internes isométriques sont formés par des parallèles (en utilisant la sécante ).
Puisque est une médiatrice, on trouve que et sont perpendiculaires. est donc aussi perpendiculaire à . est donc supportée par la hauteur issue de . est donc le point d’intersection des hauteurs.
Dans un triangle, les points d’intersection des hauteurs, des médianes et des médiatrices sont alignées sur une même droite : la droite d’Euler.
Référence : Dörrie, Heinrich, 100 Great Problems of Mathematics (1965)