Triplets pythagoriciens à volonté…

Voici une méthode astucieuse pour produire des triplets pythagoriciens, c’est-à-dire des triplets de nombres entiers non-nuls qui satisfont la relation de Pythagore : a2+b2=c2On choisit deux nombres entiers strictement positifs.  On appelle le plus grand de ces deux nombres x et l’autre, le plus petit, y  .  On calcule a=2xy,  b=x2y2  et  c=x2+y2On obtient ainsi un triplet de nombres entiers qui satisfont la relation de Pythagore.  En effet, on observe que a2+b2=(2xy)2+(x2y2)2=4x2y2+x42x2y2+y4=x4+2x2y2+y4=(x2+y2)2=c2

Voilà !

x^4+2x^2y^2+y^4

Stratégie de résolution de problème

Voici un petit problème relativement simple.

La somme de deux nombres est 2.  Le produit de ces deux mêmes nombres est 3.  Trouvez la somme des inverses de ces nombres.

Voici comment on peut procéder pour trouver la solution.  Si x et y sont les nombres recherchés, alors on pose x+y=2xy=3En isolant y dans la première équation, on trouve y=2xEt en substituant y dans la deuxième équation par l’expression que l’on vient de trouver, on obtient x(2x)=3Ce qui fait, après avoir distribué x et rendu le tout égal à zéro2xx2=30=x22x+3Par symétrie, les deux solutions à l’équation quadratique correspondront aux deux nombres cherchées, x et y. Ceux-ci sont donc x=2+(2)241321et y=2(2)241321ce qui fait après simplificationsx=2+82ety=282c’est-à-dire des nombres complexes que l’on réécrit commex=2+8i2ety=28i2En se rappelant que8=42=22on obtient en simplifiantx=1+2iety=12iLa somme des inverses est donc11+2i+112iOn peut effectuer cette somme en mettant d’abord sous dénominateur commun 11+2i12i12i+112i1+2i1+2ice qui fait après simplifications12i+1+2i12i2et donc tout simplement23Impressionnant ! Mais aussi long et fastidieux !  Si l’on considère dès le départ la solution (la somme des inverses des deux nombres)1x+1yet que l’on effectue cette somme en mettant sur même dénominateur, on obtientyxy+xxy x+yxyOn trouve la somme des deux nombres, connue, c’est 2, au numérateur, et le produit des deux nombres, connu aussi, c’est 3, au dénominateur ! Le nombre cherché est donc simplement 23Astucieux !

Référence : Alfred S Posamentier et Charles T. Salkind (1996), Challenging Problems In Geometry

La droite d’Euler

Prenez quelques minutes de votre temps et découvrez ce résultat fort étonnant.

Ce qu’il faut savoir :

Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes ;

dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes ;

dans un triangle, les trois médianes sont concourantes.

Voilà ce qu’il faut savoir ! Eh bien commençons !  Tout point situé sur la médiatrice d’un segment est équidistant des deux extrémités du segment.  Traçons la médiatrice de AB qui la coupe en CD est un point de cette médiatrice.  Montrons que ADBDLe cas est trivial si D et C sont confondus, point milieu de AB (définition de médiatrice).

Si D n’est pas en C, alors par définition de médiatrice,  on a  bien ACBCet on a aussi mACD=mBCD=90Puisque les triangles ACD et BCD partagent le côté CD,  on trouve qu’ils sont isométriques par le cas d’isométrie CAC.  Et comme dans les triangles isométriques les côtés homologues sont isométriques, on trouve ADBDLa réciproque est aussi vraie.  Si D est équidistant de A et de B, on peut affirmer que ADBDEn particulier, si D était sur AB (C sur l’image), on aurait aussi ACBCPuisque les deux triangles ACD et BCD partagent le côté CD, on trouve qu’ils sont isométriques par CCC.  Les angles ACD et BCD étant d’une part des angles homologues isométriques, et d’autre part adjacents supplémentaires, on déduit que mACD=mBCD=90DC est donc une médiatrice.

Considérons le triangle ABC suivant.  DF est la médiatrice de BC et DE est la médiatrice de AC.  Les deux médiatrices se coupent en D.

Puisque DF est la médiatrice de BC, on trouve BDCDPuisque DE est la médiatrice de AC, on trouve ADCDet par transitivité, on conclut que ADBDMais cela implique donc que D est situé sur le médiatrice de AB puisqu’il est équidistant de A et de B ! Les trois médiatrices se rencontrent en un point.  C’était la première chose à savoir !

Portons maintenant notre attention sur le triangle ABC suivant :

On a d’abord tracé les trois hauteurs AJ, BE et CD.  On a ensuite tracé GI parallèle à AC et passant par B, HI parallèle à AB et passant par C et GH parallèle à BC et passant par A.

Toutes ces droites parallèles forment évidemment une panoplie d’angles alternes-internes isométriques.

Considérons les parallèles AC et GI et la sécante BC.  Les angles IBC et ACB sont alternes-internes isométriques.

Considérons les parallèles AB et HI et la sécante BC.  Les angles ABC et BCI sont aussi alternes-internes isométriques.

Les triangles BIC et ABC partagent le côté BC et sont donc isométriques par ACA.  Et comme dans les triangles triangles isométriques, les côtés homologues sont isométriques, on trouveACBIConsidérons les parallèles BC et GH et la sécante AB.  Les angles GAB et ABC sont alternes-internes isométriques.

Considérons à nouveau les parallèles AC et GI et la sécante AB.   Les angles GBA et BAC sont alternes-internes isométriques.

Les triangles GAB et CBA partagent le côté AB et sont donc isométriques par ACA.  Et comme dans les triangles triangles isométriques, les côtés homologues sont isométriques, on trouveACBGCela implique donc, par transitivité, que BGBIOn peut dire que B est le point milieu de GI.  Par le même raisonnement, on pourrait trouver que A est le point milieu de GH et C est le point milieu de HI.

Comme BE est perpendiculaire à AB (définition de hauteur) et AB est parallèle à GI (par construction), on a BE perpendiculaire à GI.  Par le même raisonnement, on trouve que AJ est perpendiculaire à GH et DC est perpendiculaire à HI.

BE, AJ et DC sont donc les médiatrices du triangle GHI.  Et comme les médiatrices sont concourantes, on trouve que BE, AJ et DC, qui sont aussi les hauteurs de ABC, se rencontrent en F.  Les trois hauteurs d’un triangle se rencontrent donc en un même point.  C’était la deuxième chose à savoir !

Considérons maintenant le triangle ABC suivant :

Dans le triangle ABC, on a tracé les médianes CE et AD qui se coupent en G.  Traçons aussi DE.  Par définition de médiane, on trouve que mAB=2mBEet mBC=2mBDLes triangles ABC et EBD partagent l’angle EBD.  Ils sont donc semblables par CAC.  Puisque dans les triangles semblables les côtés homologues sont dans le même rapport, on déduit que mAC=2mEDDans les triangles semblables, les angles homologues étant isométriques, on trouve que les angles BED et BAC sont isométriques.  Et puisque ces angles sont aussi correspondants, on trouve que ED est parallèle à AC (puisque des angles correspondants isométriques sont formés par des parallèles).  En considérant cette dernière paire de parallèles et la sécante CE, on trouve que les angles DEG et ACG sont alternes-internes isométriques.  Avec les angles EGD et CGA opposés par le sommet, et donc isométriques, on conclut que les triangles EGD et CGA sont semblables par AA.  On avait déjà établit que mAC=2mEDet puisque dans les triangles semblables on observe des côtés homologues proportionnels, alors on déduit que mEG=2mCGet mDG=2mAGLes médianes se coupent donc au 23 de leur longueur à partir du sommet (ou dans un rapport 2:1).  En répétant cette démarche avec l’autre médiane, on trouve que les médianes se rencontrent effectivement en un même point.  C’était la troisième chose à savoir !

Enfin, considérons le triangle ABC suivant :

BF et CE sont deux droites supportant les médianes se coupant en GFH et DH sont deux médiatrices se coupant en H.  Prolongeons GH jusqu’en J de telle sort que mGJ=2mGHOn sait que mGB=2mGFOn trouve aussi que l’angle JGB est congru à l’angle HGF puisqu’ils sont opposés par le sommet.  Les triangles JGB et HGF sont donc semblables par le cas de similitude CAC.

Et comme dans les triangles semblables, les angles homologues sont isométriques, on trouveGJBGHFCela implique que les droites JB et FH sont parallèles puisque des angles alternes-internes isométriques sont formés par des parallèles (en utilisant la sécante JH).

Puisque HF est une médiatrice, on trouve que HF et AC sont perpendiculaires.  JB est donc aussi perpendiculaire à ACJB est donc supportée par la hauteur issue de BJest donc le point d’intersection des hauteurs.

Dans un triangle, les points d’intersection des hauteurs, des médianes et des médiatrices sont alignées sur une même droite : la droite d’Euler.

Référence : Dörrie, Heinrich, 100 Great Problems of Mathematics (1965)