Petite conjecture…

J’adore faire des conjectures avec les élèves. Il y a beaucoup de conjectures simples, avec les nombres entiers, fort pertinentes à présenter. Je discutais avec un collègue qui allait donner la situation suivante à des élèves de deuxième secondaire en cheminement particulier :

Écrivez un nombre à trois chiffres. Faites la somme des chiffres. Soustrayez la somme à votre nombre original.

Les élèves doivent ensuite établir une conjecture sur le résultat (il est important de dire qu’ils ont vu récemment les critères de divisibilité, alors ces outils sont frais dans leur tête). \begin{align*}  472 \\ \\ 4 + 7 + 2 &= 13 \\ \\ 472-3 &= 459\end{align*} ou \begin{align*}231 \\ \\ 2 + 3 + 1 &=6 \\ \\ 231-6 &=225 \end{align*}La plupart des élèves y arrivent, enthousiastes, après plusieurs essais, en consignant systématiquement les résultats de leurs essais et leurs diviseurs : le résultat est toujours divisible par \(9\). La preuve pour cette conjecture (pour les plus vieux) n’est pas difficile. Si le nombre de départ est « \(abc\) » alors on a\begin{align*}100a + 10b + c-(a + b + c) &= 99a + 9b \\ \\ &=9(11a + b)\end{align*}Voilà !

L’intrigue se corse

Pour vérifier si un nombre se divise par \(9\), on fait la somme de ses chiffres. Si la somme se divise par \(9\), alors le nombre se divise par \(9\). Après de nombreux essais, un des élèves y est allé d’une conjecture plus forte : la somme des chiffres du résultat est toujours \(9\).

Ça fonctionne avec le nombre \(231\) ci-dessus (qui donne \(225\) comme résultat, c’est-à-dire qu’on a \(2+2+5 =9\)), et ça fonctionnait avec les exemples de l’élève… mais il est effectivement possible de trouver au moins une somme autre que \(9\) comme avec le nombre \(472\) ci-dessus (qui donne \(459\) comme résultat et \(4 +5+9=18\)). La conjecture plus forte tombe.

Qu’en est-il dans ce cas ? Est-ce toujours \(9\) ou \(18\) ? Ou peut-on trouver une autre somme (toujours divisible par \(9\))? En essayant de vérifier tout cela pendant la pause du dîner, je me suis rendu compte qu’il fallait considérer quelques petites subtilités. On exprime d’abord le résultat comme \begin{align*}99a + 9b &=100a+10b-a-b \\ \\ &=10a+10b-(a+b)\end{align*}afin de faire apparaître (tranquillement) les chiffres du nombre résultant. Or, on ne peut pas avoir un chiffre « négatif » à la position des unités. On doit « monnayer » des dizaines. En effet, puisque\[1\leq a \leq 9\](c’est un nombre à trois chiffres) et\[0 \leq b \leq 9\]on a\[1 \leq a+b \leq 18\]et on doit, selon les valeurs de a et b monnayer une ou deux dizaines.

Premier cas : \(1\leq b\) et \(2 \leq a + b\leq 10\)

On doit changer une dizaine en unités.\begin{align*}100a + 10b-(a + b) &= 100a + 10(b-1) + 10-(a + b) \\ \\ &= 100a + 10(b-1) + (10-(a +b))\end{align*}La somme des chiffres donne\begin{align*}a + (b-1) + (10-(a + b)) &= a + b-1 + 10-a-b \\ \\ &= 9\end{align*}

Deuxième cas : \(2 \leq b\) et \(11 \leq a + b\leq 18\)

On doit changer deux dizaines.\begin{align*}100a+10b-(a+b)&=100a+10(b-2)+20-(a+b) \\ \\ &=100a + 10(b-2) + (20-(a + b))\end{align*}La somme des chiffres donne\begin{align*}a+(b-2)+(20-(a+b)) &= a+ b-2 + 20-a-b \\ \\ &= 18\end{align*}

Mais qu’arrive-t-il si on ne peut “monnayer” une ou deux dizaines ? Par exemple si \(b=0\). On doit emprunter aux centaines !

Troisième cas : \(b = 0\) et donc \(1 \leq a + b\leq 9\)

On a besoin d’une dizaine (et une seule) qu’on va chercher dans les centaines.\begin{align*}100a + 10b-(a+b) &= 100a + 0-a \\ \\ &= 100(a-1) + 10(10)-a \\ \\ &=100(a-1) + 10(9) + 10-a \\ \\ &=100(a-1) + 10(9) + (10-a)\end{align*}La somme des chiffres donne\begin{align*}(a-1) + (9) + (10-a) &= a-1+9+10-a \\ \\ &=18\end{align*}

Et c’est fini ! C’est le seul cas où on emprunte aux centaines.

Les deux seules sommes possibles sont donc 9 et 18.