Plus d’une preuve dans son sac…

Voici une preuve qu’on dit être une one-sentence proof [1] de l’irrationalité du nombre $\sqrt{2}$, différente (et je crois moins connue) de celle plus couramment rencontrée. Comme l’autre, c’est une preuve par l’absurde.

Supposons que le nombre $\sqrt{2}$ soit rationnel et qu’il soit égal à $$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$$avec $m$ et $n$ premiers entre eux (c’est-à-dire que la fraction est réduite), alors on a aussi que $$\sqrt{2}=\frac{2n-m}{m-n}$$et on trouve là la contradiction souhaitée : une fraction en plus petits termes !

Bien sûr, cette « preuve en une phrase » nécessite qu’on éclaircisse quelques détails. Il faut principalement vérifier que la deuxième fraction est bien égale à la première. Et il faut aussi vérifier que le dénominateur de la deuxième fraction est positif et plus petit que $n$, le dénominateur de la première fraction. Soit. Puisque $$1<\sqrt{2}=\frac{m}{n}<2$$et que $n$ est positif, on a en multipliant par $n$ $$n<m<2n$$et puis en soustrayant $n$ $$0<m-n<n$$Du coup on trouve que le dénominateur de la deuxième fraction est à la fois positif et plus petit que le dénominateur de la première fraction. En partant de $$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$$on trouve de manière équivalente $$\sqrt{2}\cdot n=m$$(on remarque au passage, avec $m$ et $n$ premiers entre eux, que $n$ est le plus petit entier qui puisse rendre le membre de gauche entier).  En élevant au carré, on a $$2n^2=m^2$$En soustrayant $nm$ de chaque côté $$2n^2-mn=m^2-mn$$(pas de problème encore une fois puisque $$n<m<2n$$implique $$mn<2n^2$$en multipliant par $n$ et $$mn<m^2$$en multipliant par $m$, les deux côtés de l’équation restent donc positifs) et en effectuant une mise en évidence de chaque côté $$n(2n-m)=m(m-n)$$on obtient le résultat demandé$$\frac{2n-m}{m-n}=\frac{m}{n}=\sqrt{2}$$et, du même coup, la contradiction.  Il aurait été possible d’emprunter une démarche similaire avec comme point de départ $$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1$$

Dans son article, Bloom [1] mentionne que cette preuve a été présentée sous une forme légèrement différente par Ivan Niven en 1985. Il ajoute aussi que cet argument peut être modifié sans grande difficulté pour traiter un nombre $\sqrt{k}$ quelconque où $k$ n’est pas un nombre carré. En effet, avec $j$ l’unique entier tel que $$j<\sqrt{k}<j+1$$si on pose $$\sqrt{k}=\frac{m}{n}$$avec $m$ et $n$ premiers entre eux, on trouvera aussi $$\sqrt{k}=\frac{kn-jm}{m-jn}$$une fraction en plus petits termes.

[1] David M. Bloom, A One-Sentence Proof That √2 Is Irrational, Mathematics Magazine Oct. 1995