Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?

J’adore le blogue Five Triangles (surtout les questions de géométrie) et j’en ai déjà parlé ici. Le sous-titre de ce blogue est unemasculated mathematics for school years 6, 7 & 8 ~ or thereabouts. Ainsi, malgré le réflexe d’utiliser l’artillerie lourde au premier abord (ça fonctionne après tout), il existe souvent (jusqu’à preuve du contraire) un moyen simple et ingénieux de s’en sortir. Dans les problèmes favoris des auteurs, on trouve

Le pentagone \(ABEDC\) ci-dessus est composé de trois triangles isocèles isométriques dont les côtés sont \(64\), \(64\) et \(48\). Quelle est la mesure du segment \(AE\) ?

En posant la mesure de l’angle \(ABC\) égale à \(\alpha\) on peut utiliser la loi des cosinus dans le triangle \(ABC\) \[48^{2}=64^{2}+64^{2}-2\cdot 64\cdot 64\cdot \cos(\alpha)\]En regroupant les termes constants et en simplifiant, on obtient\[\frac{-5\,888}{-8\,192}=\cos(\alpha)\]Hummm, la fraction réduite, \[\frac{23}{32} = \cos(\alpha)\]n’est pas une valeur remarquable pour le cosinus. Cela est un peu problématique car en utilisant la loi des cosinus dans le triangle \(ABE\), on obtient \[\left(m\overline{AE}\right)^{2} = 64^{2}+64^{2}-2\cdot 64 \cdot 64 \cdot \cos(3\alpha)\]ou \[\left(m\overline{AE}\right)^{2}=8\,192-8\,192\cos(3\alpha)\]et on doit trouver une valeur pour \(\cos(3\alpha)\) en fonction de celle de \(\cos(\alpha)\). Un peu fastidieux, mais encore, pas de problème ! En se rappelant les formules d’addition d’angles\[\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\]et\[\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)\]et en les appliquant deux fois, on peut obtenir une formule du cosinus de l’angle triple. Dans un premier temps, on obtient celle de l’angle double \begin{align*} \cos(2x)&=\cos(x+x) \\ \\ &=\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x) \\ \\ &= \cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)\end{align*}et comme \[\sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x)\]on peut remplacer et obtenir \begin{align*}\cos(2x)&=\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x) \\ \\ &=\cos^{2}(x)-\left(1-\cos^{2}(x)\right) \\ \\ &=2\cos^{2}(x)-1\end{align*}Quant au sinus, on trouve pour l’angle double \begin{align*}\sin(2x)&=\sin(x+x)\\ \\ &=\sin(x)\cos(x) + \sin(x)\cos(x) \\ \\ &=2\sin(x)\cos(x)\end{align*}Enfin, en réutilisant la formule d’addition d’angles pour le cosinus, on obtient le cosinus de l’angle triple\begin{align*} \cos(3x) &=\cos(2x+x) \\ \\ &=\cos(2x)\cos(x)-\sin(2x)\sin(x) \\ \\ &=\left(2\cos^{2}(x)-1\right)\cos(x)-\left(2\sin(x)\cos(x)\right)\sin(x) \\ \\ &=2\cos^{3}(x)-\cos(x)-2\sin^{2}(x)\cos(x)\end{align*}En utilisant encore la substitution \[\sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x)\]on obtient \begin{align*}\cos(3x) &= 2\cos^{3}(x)-\cos(x)-2\sin^{2}(x)\cos(x)\\ \\ &=2\cos^{3}(x)-\cos(x)-2\left(1-\cos^{2}(x)\right)\cos(x) \\ \\ &=2\cos^{3}(x)-\cos(x)-2\cos(x)+2\cos^{3}(x) \\ \\ &=4\cos^{3}(x)-3\cos(x)\end{align*}En outre, \[\left(m\overline{AE}\right)^{2}=8\,192-8\,192\cos(3\alpha)\]devient\[\left(m\overline{AE}\right)^{2}=8\,192-8\,192\left(4\cos^{3}(\alpha)-3\cos(\alpha)\right)\]et puisque\[\cos(\alpha)=\frac{23}{32}\]on trouve \[\left(m\overline{AE}\right)^{2}=8\,192-8\,192\left(4\left(\frac{23}{32}\right)^{3}-3\left(\frac{23}{32}\right)\right)\]Un peu d’arithmétique nous donne\begin{align*}\left(m\overline{AE}\right)^{2}&=8\,192-8\,192\left(\frac{12\,167}{8\,192}-\frac{69}{32}\right) \\ \\ &= 8\,192 + 5\,497 \\ \\ &= 13\,689\end{align*}et on trouve, ô surprise, une mesure entière pour le segment \(AE\) \[m\overline{AE} = \sqrt{13\,689} = 117\]Bien sûr, c’est décevant. Un si beau nombre. Entier. Et une démarche si compliquée ! Peut-on faire plus simple ?

En plaçant la figure dans un plan cartésien, on peut ramener le problème à résoudre un système d’équations du deuxième degré.
Avec Pythagore, on peut trouver l’ordonnée de \(B\) \begin{align*}\left(-24\right)^{2}+{y_{B}}^{2}&= 64^{2} \\ \\ 576 + {y_{B}}^{2}&=4\,096 \\ \\ {y_{B}}^{2}&=3\,520 \\ \\ y_{B}&=\pm 8\sqrt{55}\end{align*}et on garde la valeur positive. Les équations des cercles sont \begin{align*}x^{2}+y^{2}&=48^{2} \\ \\ \left(x+24\right)^{2}+\left(y+8\sqrt{55}\right)^{2}&=64^{2}\end{align*}On peut isoler \(y^{2}\) dans la première équation \[y^{2}=2\,304-x^{2}\]et substituer dans la deuxième \begin{align*}x^{2}+48x+576+y^{2}+16\sqrt{55}y+3\,520&=4\,096 \\ \\ x^{2}+48x+\left(2\,304-x^{2}\right)+16\sqrt{55}y&=0 \\ \\ 16\sqrt{55}y&=-\left(48x+2\,304\right)\end{align*}En divisant par \(16\), le facteur commun, \[\sqrt{55}y=-\left(3x+144\right)\]puis en élevant au carré et en substituant \(y^{2}\) à nouveau\begin{align*}55y^{2}&=9x^{2}-864x+20\,736 \\ \\ 55\left(2\,304-x^{2}\right) &= 9x^{2}-864x+20\,736 \\ \\ 126\,720-55x^{2}&=9x^{2}-864x+20\,736 \\ \\ 0&=64x^{2}-864x-105\,984\end{align*}En divisant par \(32\) on obtient \[0=2x^{2}+27x-3\,312\]On peut calculer le discriminant\begin{align*}\Delta &= 27^{2}-4\cdot 2 \cdot (-3\,312) \\ \\ &= 729 + 26\, 496 \\ \\ &=27\, 225\end{align*}Sans surprise \(27\,225\) est un carré (après tout, \(-48\) est une solution connue). Avec la formule quadratique, on obtient pour valeurs de \(x\) \[x = \frac{-27\pm\sqrt{27\, 225}}{2(2)}\]ou de manière équivalente\[x = \frac{-27\pm165}{4}\]Si la première solution est connue \[x_{1}= \frac{-27-165}{4}=-18\]la deuxième, elle, nous permet de répondre (à nouveau) à la question\[x_{2}=\frac{-27+165}{4}=\frac{69}{2}\]En effet, la distance entre \(A\) et \(E\) correspond à\[48+2\cdot \frac{69}{2}=117\]Plus élémentaire ? Peut-être. Plus simple ? C’est discutable. On pourrait faire un peu mieux, en calquant la deuxième démarche mais en évacuant le plan cartésien et les équations de cercles et en remplaçant le tout avec une grosse dose de Pythagore. Cela ferait plus school years 6, 7 & 8 ~ or thereabouts que les démarches précédentes, mais il me semble que la route est longue et aride.

Alors la question : quelle savante astuce nous permet de « voir » le \(117\) ?

Mise à jour :

Merci à Manuel qui, dans les commentaires, partage une solution vraiment simple !

Dans le triangle isocèle \(ABC\), la mesure de l’angle \(ACB\) est \[\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}\]Dans le triangle isocèle \(ABE\), la mesure de l’angle \(BAE\) est\[\frac{180^{\circ}-3\alpha}{2}\]Dans le triangle \(AFB\), la mesure de l’angle \(AFB\) est\[\frac{180^{\circ}+\alpha}{2}\]L’angle \(AFC\) et \(AFB\) étant adjacents supplémentaires, la mesure de l’angle \(AFC\) est\[\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}\]Le triangle \(ACF\) est donc isocèle et pour reprendre l’explication de Manuel,

\(m\overline{AF} = 48\) et le triangle \(ACF\) est semblable à \(ABC\) avec un coefficient de proportionnalité de \(\frac{9}{16}\), d’où \(m\overline{CF} = 36\) et, par Thalès, dans \(\triangle ACD\), \(m\overline{FG} = 21\).
Donc \(m\overline{AE} = 48 + 21 + 48 = 117\).