Tout le monde n’a pas la chance que j’ai d’avoir un collègue aussi extraordinaire. Un collègue qui vous surprend toujours avec des trucs curieux et formidables. La semaine passée, Monsieur C. me dit sur l’heure du dîner :
Je suis tombé sur quelque chose de vraiment formidable. Choisis un grand nombre premier ( “grand nombre premier” voulant dire plus grand que \(3\)). Élève le au carré. Ajoute \(11\). Le reste de la division par \(24\) est \(12\). Pourquoi ça fonctionne ?
\(13\) est un nombre premier.
Le carré de \(13\) est \(169\).
\[169 + 11 = 180\]
Et \(180\) divisé par \(24\) donne \(7\) reste \(12\). Ah !
Pourquoi en effet. Si vous êtes comme moi, vous arrêterez de lire ce billet et vous plancherez sur ce problème.
Considérons un de ces grands nombres premiers \(p>3\).
Le texte nous dit qu’on peut trouver un \(k \in \mathbb{N}\) tel que \[p^{2}+11 = 24k + 12\]ou, en d’autres mots, \[p^{2}-1=24k\]
Il suffit de montrer que \[p^{2}-1\]est divisible par \(24\). Mince affaire ! En factorisant la différence de carrés, on obtient \[(p-1)(p+1)\]Comme \(p\) est un nombre premier plus grand que \(3\), il est impair. \(p-1\) et \(p+1\), l’entier immédiatement inférieur et l’entier immédiatement supérieur à \(p\), sont donc pairs. Le membre de gauche est donc divisible par \(4\). Mais ce n’est pas tout. Soit \(p-1\), soit \(p+1\) doit en réalité non seulement être divisible par \(2\) mais même par \(4\) car ce sont deux nombres pairs consécutifs. Le produit \((p-1)(p+1)\) est donc divisible par \(8\). Cela n’explique pas pourquoi il le serait par \(24\), il faut trouver un facteur \(3\).
Mais bien sûr ! Les nombres \(p-1\), \(p\) et \(p+1\) sont trois nombres consécutifs. Un de ces nombres est donc nécessairement divisible par \(3\). Cela ne peut pas être \(p\) car on a choisit \(p>3\). Ainsi, soit \(p-1\), soit \(p+1\) est divisible par \(3\). Un nombre divisible par \(8\) et par \(3\) est divisible par \(24\). Voilà !