Propriété réflexive de l’ellipse

Examinons d’abord cette proposition : le lieu de points du centre $C$ d’un cercle $C_2$ (variable) tangent à un grand cercle $C_1$ (fixe) et passant par un point $A$, à l’intérieur de $C_1$, est une ellipse.  Soit $O$ le centre de $C_1$.  On peut construire le cercle tangent $C_2$ de cette façon :

1. tracer la droite $OB$, avec $B$ sur $C_1$.
2. tracer le segment $AB$.
3. tracer la médiatrice de $\overline{AB}$, elle coupe $OB$ en $C$ :  c’est le centre recherché.
4. tracer $C_2$, de centre $C$ et de rayon $CA$.

On obtient

On trouve $$m\overline{CA}+m\overline{CO}=m\overline{BC}+m\overline{CO}=m\overline{BO}$$Or $\overline{BO}$ est le rayon du grand cercle $C_1$ (fixe).  C’est donc une constante.  Le point $C$ est donc, par définition, sur une ellipse dont les foyers sont les points $A$ et $O$.$$m\overline{CA}+m\overline{CO}=\text{ Constante}$$

Cette propriété nous permet de réaliser la construction suivante.  Sur un morceau de papier circulaire, identifier un point $A$ autre que le centre.  Pliez ensuite le morceau de papier de telle sorte qu’un point sur sa circonférence vienne coïncider avec le point $A$.  Dépliez et répétez avec différents points, tous issus de la circonférence.  Tous ces pliages envelopperont une ellipse.  Considérez le point $B$ sur la circonférence.  La seule façon de ramener $B$ sur $A$, deux points issus de la circonférence, est de plier selon le diamètre de $C_2$.  La pliure passe donc par $C$.  Qui plus est, la pliure est tangente à l’ellipse.  Si la pliure n’était pas tangente, alors elle couperait l’ellipse en un deuxième point, par exemple $C^{\prime }$.  Il faudrait alors que $C^{\prime }$ soit le centre d’un deuxième cercle tangent en $B$ à $C_1$ et passant par $A$, une impossibilité !

Par ailleurs, les triangles $BCD$ et $ACD$ sont isométriques (cas CCC).   Puisque dans les triangles isométriques les angles homologues sont isométriques, on trouve $\alpha =\psi$. Or les angles $\alpha$ et $\beta$ sont isométriques puisqu’ils sont opposés par le sommet.  On a donc $\psi =\beta$. C’est une propriété intéressante de l’ellipse.  Les segments qui joignent les foyers à un point sur l’ellipse rencontrent la tangente en ce point avec le même angle.  Un rayon lumineux qui passe par un foyer et qui est réfléchi sur l’ellipse passera aussi obligatoirement par l’autre foyer.

Référence : C. Stanley Ogilvy (1990), Excursions in Geometry