Racine carrée de 2… en base 3

Lorsqu’on écrit un nombre en base 3 et qu’on l’élève au carré, le dernier chiffre non nul du carré sera nécessairement $1$.

Dans ce qui suit, sauf indication contraire, tous les nombres sont exprimés en base ternaire.

Dans cette base, on sait que $$1\times 1=1$$et que $$2\times 2=11$$Ainsi, que le nombre se termine par $1$ ou $2$, son carré lui, se terminera par $1$. Si le nombre se termine par $0$, on a quelque chose du genre $$abc\dots z0=abc\dots z\times 10$$ où $z\ne 0$ (en base 3, cela signifie que $z=1$ ou $z=2$).

Ici on note que $abc$ ne représente pas le produit de $a$, $b$ et $c$ mais bien le nombre ${}^{\prime }ab{c}^{\prime }$, c’est-à-dire que $abc=100a+10b+c$ en base 3 ou, si on préfère, $abc=9a+3b+c$ en base 10.

$$\begin{array}{rl}{(abc\dots z0)}^2& ={(abc\dots z\times 10)}^2\\ \\ & ={(abc\dots z)}^2\times {10}^2\end{array}$$Mais puisque $z\ne 0$, le nombre $(abc\dots z{)}^2$ se termine par $1$. On obtient, $$\begin{array}{rl}{(abc\dots z0)}^2& ={(abc\dots z)}^2\times {10}^2\\ \\ & =def\dots 1\times 100\\ \\ & =def\dots 100\end{array}$$Le dernier chiffre non-nul du carré est $1$. Le fait qu’il y ait plusieurs zéros à la fin du nombre ne change rien. On a  $$\begin{array}{rl}{(abc\dots z\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{000\dots 000}})}^2& ={(abc\dots z\times {10}^n)}^2\\ & ={(abc\dots z)}^2\times {\left({10}^n\right)}^2\\ \\ & =def\dots 1\times 1\underset{2n\text{ fois}}{\underbrace{000\dots 000}}\\ & =def\dots 1\underset{2n\text{ fois}}{\underbrace{000\dots 000}}\end{array}$$

En ternaire

Supposons que $\sqrt{2}$ soit un nombre rationnel. Si $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$, on peut exprimer $\sqrt{2}$ comme une fraction d’entiers et on peut choisir ces entiers pour qu’ils soient premiers entre eux. On obtient la fraction irréductible $$\sqrt{2}=\frac{A}{B}$$

On élève au carré et on multiplie par $B^2$ de chaque côté $$\begin{array}{rl}\sqrt{2}& =\frac{A}{B}\\ \\ 2& =\frac{A^2}{B^2}\\ \\ 2B^2& =A^2\end{array}$$Le dernier chiffre non nul de $A^2$ est $1$. Le dernier chiffre non-nul de $B^2$ est aussi $1$, ce qui implique que celui de $2B^2$ est $2$. Mais si le dernier chiffre non-nul de $A^2$ est $1$ et celui de $2B^2$ est $2$, ces nombres ne peuvent être égaux ! Contradiction!  Ainsi, $\sqrt{2}$ n’est pas un nombre rationnel. $$\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$$

Référence : Polster, Burkard et Marty Ross, Putting Two and Two Together, Selections from the Mathologer Files, AMS, 2020