Lorsqu’on écrit un nombre en base 3 et qu’on l’élève au carré, le dernier chiffre non nul du carré sera nécessairement .
Dans ce qui suit, sauf indication contraire, tous les nombres sont exprimés en base ternaire.
Dans cette base, on sait que et que Ainsi, que le nombre se termine par ou , son carré lui, se terminera par . Si le nombre se termine par , on a quelque chose du genre où (en base 3, cela signifie que ou ).
Ici on note que ne représente pas le produit de , et mais bien le nombre , c’est-à-dire que en base 3 ou, si on préfère, en base 10.
Mais puisque , le nombre se termine par . On obtient, Le dernier chiffre non-nul du carré est . Le fait qu’il y ait plusieurs zéros à la fin du nombre ne change rien. On a
En ternaire
Supposons que soit un nombre rationnel. Si , on peut exprimer comme une fraction d’entiers et on peut choisir ces entiers pour qu’ils soient premiers entre eux. On obtient la fraction irréductible
On élève au carré et on multiplie par de chaque côté Le dernier chiffre non nul de est . Le dernier chiffre non-nul de est aussi , ce qui implique que celui de est . Mais si le dernier chiffre non-nul de est et celui de est , ces nombres ne peuvent être égaux ! Contradiction! Ainsi, n’est pas un nombre rationnel.
Référence : Polster, Burkard et Marty Ross, Putting Two and Two Together, Selections from the Mathologer Files, AMS, 2020