Racine carrée de 2… en base 3

Lorsqu’on écrit un nombre en base 3 et qu’on l’élève au carré, le dernier chiffre non nul du carré sera nécessairement 1.

Dans ce qui suit, sauf indication contraire, tous les nombres sont exprimés en base ternaire.

Dans cette base, on sait que 1×1=1et que 2×2=11Ainsi, que le nombre se termine par 1 ou 2, son carré lui, se terminera par 1. Si le nombre se termine par 0, on a quelque chose du genre abcz0=abcz×10z0 (en base 3, cela signifie que z=1 ou z=2).

Ici on note que abc ne représente pas le produit de a, b et c mais bien le nombre abc, c’est-à-dire que abc=100a+10b+c en base 3 ou, si on préfère, abc=9a+3b+c en base 10.

(abcz0)2=(abcz×10)2=(abcz)2×102Mais puisque z0, le nombre (abcz)2 se termine par 1. On obtient, (abcz0)2=(abcz)2×102=def1×100=def100Le dernier chiffre non-nul du carré est 1. Le fait qu’il y ait plusieurs zéros à la fin du nombre ne change rien. On a  (abcz000000n fois)2=(abcz×10n)2=(abcz)2×(10n)2=def1×10000002n fois=def10000002n fois

En ternaire

Supposons que 2 soit un nombre rationnel. Si 2Q, on peut exprimer 2 comme une fraction d’entiers et on peut choisir ces entiers pour qu’ils soient premiers entre eux. On obtient la fraction irréductible 2=AB

On élève au carré et on multiplie par B2 de chaque côté 2=AB2=A2B22B2=A2Le dernier chiffre non nul de A2 est 1. Le dernier chiffre non-nul de B2 est aussi 1, ce qui implique que celui de 2B2 est 2. Mais si le dernier chiffre non-nul de A2 est 1 et celui de 2B2 est 2, ces nombres ne peuvent être égaux ! Contradiction!  Ainsi, 2 n’est pas un nombre rationnel. 2Q

Référence : Polster, Burkard et Marty Ross, Putting Two and Two Together, Selections from the Mathologer Files, AMS, 2020

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