Rationnel ou non ?

Existe-t-il des nombres du type $$a^b$$dans lesquel $a$ et $b$ sont des nombres irrationnels qui soient rationnels ?  On peut montrer que ces nombres existent sans toutefois en trouver un en exemple.  Et la démarche est très simple mais pourtant brillante.  Considérons le nombre $${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$Il s’agit bien d’un nombre irrationnel élevé à une puissance irrationnelle.  Est-il rationnel ou non ?

S’il l’est, alors la recherche est terminée.  S’il ne l’est pas, alors le nombre $${\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}$$c’est-à-dire lui aussi un nombre irrationnel élevé à une puissance irrationnelle, est égal à $$\begin{array}{rl}{\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}& ={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\\ & ={\sqrt{2}}^2\\ \\ & =2\end{array}$$un nombre non seulement rationnel mais en plus entier !

En réalité, il a été prouvé que le nombre $${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$est non seulement irrationnel mais en plus transcendant.  Il est donc particulièrement curieux de représenter le nombre entier, $2$, à l’aide d’un nombre transcendant élevé à une puissance irrationnelle.

Référence : C. Stanley Ogilvy et John T. Anderson (1988), Excursions in number theory