Réflexions

Avec deux points $A$ et $B$ du même côté d’une droite, on cherche un point $C$ sur la droite qui minimise la distance $m\overline{AC}+m\overline{CB}$.  C’est le problème classique de l’homme qui part du village $A$, s’abreuve à la rivière et termine ensuite sa course au village $B$.  Le problème, qui est de chercher ici un minimum, enligne souvent les étudiants à placer la droite et les points dans un repère cartésien et à avoir recours au calcul différentiel.  Voici plutôt une preuve géométrique plus élémentaire.

On identifie $B^{\prime }$, réflexion de $B$ par la droite.  On trace ensuite $A{B}^{\prime }$.  On prétend que l’intersection de $A{B}^{\prime }$ et de la droite est le point $C$ recherché.En effet, on considère au contraire un autre point $C^{\prime }$, différent de $C$, sur la droite.  On trace aussi $\overline{A{C}^{\prime }}$ et les segments isométriques $C^{\prime }B$ et $C^{\prime }{B}^{\prime }$ (ils sont isométriques car ce sont des côtés homologues dans des triangles isométriques).  Puisque la réflexion est une isométrie, on a d’abord que $m\overline{AC}+m\overline{CB}=m\overline{AC}+m\overline{C{B}^{\prime }}=m\overline{A{B}^{\prime }}$ et ensuite que $m\overline{A{C}^{\prime }}+m\overline{C^{\prime }B}=m\overline{A{C}^{\prime }}+m\overline{C^{\prime }{B}^{\prime }}$.  En considérant le triangle $A{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, il devient apparent que $m\overline{A{C}^{\prime }}+m\overline{C^{\prime }{B}^{\prime }}­>m\overline{AC}+m\overline{C{B}^{\prime }}=m\overline{A{B}^{\prime }}$ (dans un triangle la somme des mesures de deux côtés est toujours plus grande que la mesure du troisième).Le point $C$ tel qu’on l’a défini étant effectivement celui recherché !  En dernier lieu, on considère la figure suivante, dans laquelle on a identifié des angles.

Les angles $\alpha$ et $\gamma$ sont isométriques puisqu’ils sont opposés par le sommet.  Le angles $\beta$ et $\gamma$ sont eux aussi isométriques puisque ce sont des angles homologues dans des triangles isométriques (qu’on peut démontrer avec le cas CAC d’isométrie).  Par transitivité on trouve que les angles $\alpha$ et $\gamma$ sont isométriques.  La solution optimale correspond donc à la situation où les segments $AC$ et $CB$ forment des angles isométriques avec la droite.

Ce dernier résultat nous permet d’examiner, entre autres, des propriétés de l’ellipse et de l’hyperbole.

Par exemple, on considère les points $P$ et $Q$, du même côté de la droite $D$, et le point $C$ qui minimise la distance $m\overline{PC}+m\overline{CQ}$.  On sait maintenant que les segments $PC$ et $CQ$ forment des angles isométriques avec la droite $D$.

Appelons $2a$ cette distance minimale $m\overline{PC}+m\overline{CQ}$.  Le lieu de points dans le plan tel que $m\overline{PC}+m\overline{CQ}=2a$ est une ellipse de grand axe $2a$ et passant par $C$ et dont les foyers sont $P$ et $Q$.

La droite $D$ n’a d’autre choix que d’être tangente à l’ellipse.  Supposons le contraire et qu’elle coupe l’ellipse en $C$ et un point autre que $C$.  Une portion de la droite est donc dans la partie intérieure de l’ellipse.  Pour un point $R$ sur cette portion de la droite à l’intérieur de l’ellipse, on a $m\overline{PR}+m\overline{RQ}<2a$.  On obtient une contradiction ! On aurait trouvé un point $R$ pour lequel $m\overline{PR}+m\overline{RQ}<m\overline{PC}+m\overline{CQ}$ ce qui est bien sûr impossible puisque c’est avec $C$ que l’on obtient la distance minimale.  On vient de prouver une propriété importante de l’ellipse : les segments qui relient les foyers à un point sur l’ellipse rencontrent la tangente à l’ellipse en ce point avec le même angle.

Un raisonnement similaire nous permet d’examiner une propriété analogue dans l’hyperbole.  On suppose cette fois-ci que les points $P$ et $Q$ ne soient pas du même côté de $D$.

On cherche à trouver le point $C$ qui maximise $|m\overline{PC}-m\overline{CQ}|$, c’est-à-dire la valeur absolue de la différence de $m\overline{PC}$ et $m\overline{CQ}$ (notons au passage que la droite $D$ ne peut être la médiatrice de $\overline{PQ}$ puisque dans ce cas, l’expression $|m\overline{PC}-m\overline{CQ}|$ serait nulle partout, la médiatrice de $\overline{PQ}$ étant le lieu de points équidistants de $P$ et $Q$).  Pour résoudre ce problème, on identifie $P^{\prime }$, réflexion de $P$ par la droite $D$.  On considère un point $C^{\prime }$ quelconque sur la droite.Les segments $C^{\prime }P$ et $C^{\prime }{P}^{\prime }$ sont isométriques puisque ce sont des côtés homologues dans des triangles isométriques (qu’on peut démontrer avec la cas d’isométrie CAC).  On considère aussi $\overline{C^{\prime }Q}$.

Dans le triangle $C^{\prime }{P}^{\prime }Q$, il est apparent que la quantité $|m\overline{C^{\prime }{P}^{\prime }}-m\overline{C^{\prime }Q}|$ n’est jamais plus grande que $m\overline{P^{\prime }Q}$ (la différence des mesures de deux côtés d’un triangle n’est jamais plus grande que la mesure du troisième côté).  Et c’est seulement si les points $P^{\prime }$, $Q$ et $C^{\prime }$ sont alignés sur une même droite, c’est-à-dire si $C^{\prime }$ est en $C$ sur la figure, qu’on obtient l’égalité $|m\overline{C{P}^{\prime }}-m\overline{CQ}|=m\overline{P^{\prime }Q}$.  Comme $C{P}^{\prime }$ est isométrique à $CP$, le point $C$ correspond à la solution (le maximum recherché).  Appelons $2a$ cette différence en valeur absolue maximale $|m\overline{CP}-m\overline{CQ}|=m\overline{P^{\prime }Q}$.  Le lieu de points dans le plan tel que $|m\overline{CP}-m\overline{CQ}|=2a$ est une hyperbole passant par $C$ et dont les foyers sont $P$ et $Q$.

Un raisonnement similaire à celui emprunté pour l’ellipse nous permet de conclure que la droite $D$ n’a d’autre choix que d’être tangente à l’hyperbole en $C$ puisqu’en effet, pour un point $R$ situé entre les branches de l’hyperbole, on a $|m\overline{RP}-m\overline{RQ}|<2a$ et pour une point $S$ situé de l’autre côté des branches (dans les régions qui contiennent les foyers), on a $|m\overline{SP}-m\overline{SQ}|>2a$.

Si $Q$ est plus près de $D$ que $P$, comme c’est le cas dans notre exemple, alors la droite $D$ touchera la branche à proximité de $Q$ et vice-versa.  Enfin, si $P$ et $Q$ sont à la même distance de $D$, la droite $D$ ne sera pas une tangente mais bien une asymptote de l’hyperbole.  En effet, si $P$ et $Q$ sont à la même distance de $D$, la droite $P^{\prime }Q$ sera parallèle à $D$ et il nous sera impossible de trouver $C$.  On vient de prouver une propriété importante de l’hyperbole : les segments qui relient les foyers à un point sur l’hyperbole rencontrent la tangente à l’hyperbole en ce point avec le même angle.

Référence : R. Courant, H. Robbins et I. Stewart (1996), What is mathematics ?