Sinus d’une somme d’angles

On considère deux angles non nuls $x$ et $y$ tels que $$0<x+y<\pi$$

$$(\text{Aire du }\mathrm{△}ABC)=(\text{Aire du }\mathrm{△}BCD)+(\text{Aire du }\mathrm{△}ACD)$$

En utilisant la formule trigonométrique de l’aire du triangle, on obtient $$\frac{1}{2}ab\sin (x+y)=\frac{1}{2}ah\sin \left(x\right)+\frac{1}{2}bh\sin \left(y\right)$$

Dans le triangle $BCD$, on a aussi $$\cos (x)=\frac{h}{a}$$ou $$h=a\cos (x)$$Dans le triangle $ACD$, on a $$\cos (y)=\frac{h}{b}$$ou $$h=b\cos (y)$$

L’astuce est de remplacer $h$ dans$$\frac{1}{2}ab\sin (x+y)=\frac{1}{2}ah\sin \left(x\right)+\frac{1}{2}bh\sin \left(y\right)$$tantôt par $b\cos (y)$, tantôt par $a\cos (x)$.

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}ab\sin (x+y)& =\frac{1}{2}ab\cos (y)\sin \left(x\right)+\frac{1}{2}ba\cos (x)\sin \left(y\right)\\ \\ & =\frac{1}{2}ab(\sin (x)\cos (y)+\sin (y)\cos (x))\end{array}$$

Il ne reste qu’à diviser les deux côtés par $\frac{1}{2}ab$ pour obtenir $$\sin (x+y)=\sin (x)\cos (y)+\sin (y)\cos (x)$$