Sommes de carrés

Après avoir étudié la question des nombres pouvant s’exprimer comme une différence de carrés, la suite évidente et très naturelle est celle-ci :

Quels nombres peuvent s’écrire comme une somme de carrés ?

La réponse, dans ce cas-ci, est beaucoup plus difficile que précédemment. Heureusement pour nous, les nombres exprimés comme une somme de carrés sont un résultat classique de la théorie des nombres exposé dans tout bon livre sur le sujet.

Un nombre $c>1$ peut s’écrire comme une somme de carrés strictement positifs si $c$ ne comporte pas, dans sa factorisation première, un facteur premier de la forme $4n+3$ élevé à une puissance impaire et si $c$ n’est pas une puissance de $2$ élevée à un exposant pair.

Petite remarque préliminaire : je dois avouer que j’ai réfléchi pendant un bon moment à comment présenter une démonstration élémentaire de ce résultat qui serait accessible à des élèves ou des étudiants et qui serait contenue dans une seule publication sur ce blogue. Comme je ne suis pas satisfait du résultat, la démonstration demeurera, pour l’instant, au statut de brouillon, et fera l’objet d’une autre publication plus tard. Le lecteur sceptique peut néanmoins consulter ces références en attendant : [1], [2], [3] et [4].

Une pièce importante du casse-tête est celle-ci, due à Fermat : tout nombre premier de la forme $4n+1$ peut s’exprimer comme une somme de carrés d’une façon unique. Les nombres premiers de la forme $4n+3$, quant à eux, ne peuvent pas s’exprimer comme une somme de carrés. Il reste le nombre premier $2$ qui ne fait partie ni de la première catégorie ni de l’autre, mais puisque $$2=1^2+1^2$$le nombre premier $2$ a sa propre représentation en somme de carrés. La table de valeurs suivante consigne les sommes de carrés uniques pour tous les nombres premiers de la forme $p=4n+1$ (ainsi que pour $2$) avec $p<1000$ [5].

La deuxième pièce importante du casse-tête est l’identité de Diophante (parfois aussi appelée l’identité de Brahmagupta–Fibonacci) : $$\begin{array}{rl}(x^2+y^2)(w^2+z^2)& =x^2{w}^2+x^2{z}^2+y^2{w}^2+y^2{z}^2\\ \\ & =(xw{)}^2+(yz{)}^2+(xz{)}^2+(yw{)}^2\\ \\ & =(xw{)}^2+2xywz+(yz{)}^2+(xz{)}^2-2xywz+(yw{)}^2\\ \\ & ={(xw+yz)}^2+{(xz-yw)}^2\end{array}$$Cette identité nous permet d’exprimer un produit de sommes de carrés en une somme de carrés $$(x^2+y^2)(w^2+z^2)=(xw+yz{)}^2+(xz-yz{)}^2$$Il apparait donc possible de calculer la factorisation première d’un nombre, puis, si les facteurs premiers sont de la bonne forme, d’exprimer, en plusieurs étapes au besoin, les produits de facteurs premiers en sommes de carrés.

Le lecteur aguerri aura peut-être remarqué qu’il est aussi possible d’obtenir cette identité$$\begin{array}{rl}(x^2+y^2)(w^2+z^2)& =x^2{w}^2+x^2{z}^2+y^2{w}^2+y^2{z}^2\\ \\ & =(xw{)}^2+(yz{)}^2+(xz{)}^2+(yw{)}^2\\ \\ & =(xw{)}^2-2xywz+(yz{)}^2+(xz{)}^2+2xywz+(yw{)}^2\\ \\ & ={(xw+yz)}^2+{(xz-yw)}^2\end{array}$$En général, il est donc possible d’exprimer le produit de deux sommes de carrés en deux sommes de carrés différentes. Par exemple, $$\begin{array}{rl}221& =13\cdot 17\\ \\ & =(4+9)(1+16)\\ \\ & =(2^2+3^2)(1^2+4^2)\\ \\ & ={(2\cdot 1+3\cdot 4)}^2+{(2\cdot 4-3\cdot 1)}^2\\ \\ & ={14}^2+5^2\\ \\ \\ & =(2^2+3^2)(1^2+4^2)\\ \\ & ={(2\cdot 1-3\cdot 4)}^2+{(2\cdot 4+3\cdot 1)}^2\\ \\ & ={(-10)}^2+{11}^2\\ \\ & ={10}^2+{11}^2\end{array}$$Le nombre $221$ s’écrit donc de deux façons différentes comme une somme de carrés $$221={14}^2+5^2={10}^2+{11}^2$$Notons enfin qu’il est possible d’éviter d’utiliser la deuxième identité $$(x^2+y^2)(w^2+z^2)={(xw-yz)}^2+{(xz+yw)}^2$$ et de n’utiliser que la première $$(x^2+y^2)(w^2+z^2)={(xw+yz)}^2+{(xz-yw)}^2$$car, en réalité, on obtient le même résultat en échangeant $w$ et $z$ dans la première (une simple manipulation algébrique convainc). En reprenant l’exemple numérique de $221$, on obtient $$\begin{array}{rl}221& =(2^2+3^2)(1^2+4^2)\\ \\ & =(2^2+3^2)(4^2+1^2)\\ \\ & =(2\cdot 4+3\cdot 1)(2\cdot 1-3\cdot 4)\\ \\ & ={11}^2+(-10{)}^2\\ \\ & ={11}^2+{10}^2\end{array}$$

Petit détail concernant $2=1^2+1^2$. Dans ce cas $x=y$ (ou $w=z$, peu importe) et cela ne génère pas deux sommes différentes. Par exemple, $$\begin{array}{rl}146& =2\cdot 73\\ \\ & =(1+1)(9+64)\\ \\ & =(1^2+1^2)(3^2+8^2)\\ \\ & ={(1\cdot 3+1\cdot 8)}^2+{(1\cdot 8-1\cdot 3)}^2\\ \\ & ={11}^2+5^2\\ \\ \\ & =(1^2+1^2)(8^2+3^2)\\ \\ & ={(1\cdot 8+1\cdot 3)}^2+{(1\cdot 3-1\cdot 8)}^2\\ \\ & ={11}^2+{(-5)}^2\\ \\ & ={11}^2+5^2\end{array}$$Il est aussi inutile d’utiliser l’identité de Diophante si les deux nombres premiers sont $2$ $$\begin{array}{rl}{2}^2& =2\cdot 2\\ \\ & =(1^2+1^2)(1^2+1^2)\\ \\ & =(1\cdot 1+1\cdot 1{)}^2+(1\cdot 1-1\cdot 1{)}^2\\ \\ & =2^2+0^2\\ \\ & =2^2\end{array}$$

La dernière pièce du casse-tête vient du fait que si $$c=(ad{)}^2+(bd{)}^2$$ alors $$c=d^2(a^2+b^2)$$avec une simple mise en évidence. Ainsi, un nombre peut posséder dans sa factorisation première des facteurs premiers de la forme $4n+3$, si ceux-ci sont présents un nombre pair de fois chacun.

On considère un nombre $$c=d^2\cdot 2^{\alpha }\cdot p_1^{\beta }\cdot p_2^{\gamma }\dots p_n^{\omega }$$dans lequel $d^2$ est le produit des facteurs premiers de la forme $4n+3$ (tous nécessairement présents un nombre pairs de fois) et $p_1$, $p_2$, … , $p_n$ sont les facteurs premiers de la forme $4n+1$. Le facteur $2=1^2+1^2$ a sa place particulière dans cette factorisation. On calcule $x=(\beta +1)(\gamma +1)\dots (\omega +1)$. Si $x$ est pair, il y a $\frac{1}{2}x$ sommes de carrés possibles. Si $x$ est impair, cela implique que chaque facteur $p_i$ est présent un nombre pair de fois (il pourrait même être possible qu’il n’y ait aucun facteur de la forme $4n+1$ et dans ce cas on poserait $\beta =0$, $\gamma =0$, … , $\omega =0$, et on obtiendrait $x=1$). Si $\alpha$ est pair aussi, le nombre $c$ est un carré et il y a $\frac{1}{2}(x-1)$ sommes de carrés possibles. Si $\alpha$ est impair, alors il y a $\frac{1}{2}(x+1)$ sommes de carrés possibles. [6]

Corollaire : si $c$ est une puissance de $2$, alors il y a une seule façon de l’exprimer comme une somme de carrés si l’exposant est impair et aucune façon si l’exposant est pair.

Considérons enfin ces quelques exemples numériques.

$8918$

La factorisation première de $8918$ étant $2\cdot 7^3\cdot 13$, et on constate qu’un facteur premier de la forme $4n+3$, dans ce cas précis, $7=4(1)+3$, est présent un nombre impair de fois. Le nombre $8918$ ne peut donc pas s’exprimer comme une somme de carrés.

$6984$

La factorisation première de $6984$ est $2^3\cdot 3^2\cdot 97$. Dans ce cas, le nombre premier de la forme $4n+3$, soit $3$, est présent un nombre pair de fois. Le nombre premier $97$ est un nombre premier de la forme $4n+1$. On peut donc écrire $$6984={(2\cdot 3)}^2(2\cdot 97)$$Il n’y aura donc qu’une seule façon ($\frac{(1+1)}{2}=1$) d’écrire le nombre $6984$ comme une somme de carrés. $$\begin{array}{rl}6984& =6^2(2\cdot 97)\\ \\ & =(1^2+1^2)(4^2+9^2)\\ \\ & =6^2({(1\cdot 4+1\cdot 9)}^2+{(1\cdot 9-1\cdot 4)}^2)\\ \\ & =6^2({13}^2+5^2)\\ \\ & ={78}^2+{30}^2\end{array}$$

$5945$

La factorisation première de $5945$ est $5\cdot 29\cdot 41$. Il y a trois facteurs premiers de la forme $4n+1$ affectés d’un exposant $1$ et cela implique qu’il y aura $\frac{(1+1)(1+1)(1+1)}{2}=4$ sommes différentes. D’abord, on note que $$\begin{array}{rl}5945& =5\cdot 29\cdot 41\\ \\ & =(1^2+2^2)(2^2+5^2)(4^2+5^2)\\ \\ \\ & =({(1\cdot 2+2\cdot 5)}^2+{(1\cdot 5-2\cdot 2)}^2)(4^2+5^2)\\ \\ & =({12}^2+1^2)(4^2+5^2)\\ \\ & =(12\cdot 4+1\cdot 5{)}^2+(12\cdot 5-1\cdot 4{)}^2\\ \\ & ={53}^2+{56}^2\\ \\ \\ & =({12}^2+1^2)(5^2+4^2)\\ \\ & =(12\cdot 5+1\cdot 4)(12\cdot 4-1\cdot 5)\\ \\ & ={64}^2+{43}^2\\ \\ \\ & =(2^2+1^2)(2^2+5^2)(4^2+5^2)\\ \\ & =((2\cdot 2+1\cdot 5{)}^2+(2\cdot 5-1\cdot 2{)}^2)(4^2+5^2)\\ \\ & =(9^2+8^2)(4^2+5^2)\\ \\ & =(8\cdot 4+8\cdot 5{)}^2+(9\cdot 5-8\cdot 4{)}^2\\ \\ & ={76}^2+{13}^2\\ \\ \\ & =(9^2+8^2)(5^2+4^2)\\ \\ & =(9\cdot 5+7\cdot 4{)}^2+(9\cdot 4-8\cdot 5{)}^2\\ \\ & ={77}^2+(-4{)}^2\\ \\ & ={77}^2+4^2\end{array}$$

$29768$

La factorisation première de $29768$ est $2^3\cdot {61}^2$. Le seul facteur de la forme $4n+1$, $61$, est présent un nombre pair de fois alors que le facteur $2$ est présent un nombre impair de fois. Il y a donc $\frac{(2+1)+1}{2}=2$ façons d’exprimer $29768$ comme une somme de carrés. $$\begin{array}{rl}29768& =2^3\cdot {61}^2\\ \\ & =2\cdot 2^2\cdot {61}^2\\ \\ & =2\cdot {122}^2\\ \\ & ={122}^2+{122}^2\\ \\ \\ & =2^3\cdot 61\cdot 61\\ \\ & =2^3(6^2+5^2)(5^2+6^2)\\ \\ & =2^3((6\cdot 5+5\cdot 6{)}^2+(6\cdot 6-5\cdot 5{)}^2)\\ \\ & =2^2\cdot 2({60}^2+{11}^2)\\ \\ & =2^2\cdot (1^2+1^2)({60}^2+{11}^2)\\ \\ & =2^2((1\cdot 60+1\cdot 11{)}^2+(1\cdot 11-1\cdot 60{)}^2)\\ \\ & =2^2({71}^2+(-49{)}^2)\\ \\ & ={142}^2+{98}^2\end{array}$$

[1]Hardy, Godfrey H. et Edward M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 2008, Oxford University Press, 6e édition

[2]Niven, Ivan, Herbert S. Zuckerman et Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 1991, Wiley, 5e édition

[3]Andrews, George E., Theory of Numbers, 1994, Dover

[4]Mathologer, Why was this visual proof missed for 400 years? (Fermat’s two square theorem), https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk

[5]Charles Hermite propose l’algorithme suivant (qu’on énonce sans démonstration) : Pour trouver $a$ et $b$ tels que $$a^2+b^2=p$$où $p$ est de la forme $4n+1$, on trouve le plus petit $z$ tel que $$z^2\equiv -1\text{ mod }p$$puis on applique l’algorithme d’Euclide à $z$ et $p$ et on s’arrête dès qu’on obtient deux nombres $a$ et $b$ inférieurs à $\sqrt{p}$. Hermite à montré que ces $a$ et $b$ sont ceux qu’on cherche. Par exemple, pour $p=157$, on trouve que le plus petit $z$ pour lequel $z\equiv -1\text{ mod }157$ est $z=28$ car $${28}^2=784=157(5)-1\equiv -1\text{ mod }157$$On applique ensuite l’algorithme d’Euclide avec $28$ et $157$. On s’arrête dès que les nombres sont inférieurs à $\sqrt{157}\approx 12,53$.$$(28,157)\to (28,17)\to (11,17)\to (11,6)$$Voilà ! On constate que $${11}^2+6^2=157$$

[6] Weisstein, Eric W., Sum of Squares Function, From MathWorld–A Wolfram Web Resource.  https://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html