Stratégie de résolution de problème

Voici un petit problème relativement simple.

La somme de deux nombres est 2.  Le produit de ces deux mêmes nombres est 3.  Trouvez la somme des inverses de ces nombres.

Voici comment on peut procéder pour trouver la solution.  Si $x$ et $y$ sont les nombres recherchés, alors on pose $$\begin{array}{rl}x+y& =2\\ \\ xy& =3\end{array}$$En isolant $y$ dans la première équation, on trouve $$y=2-x$$Et en substituant $y$ dans la deuxième équation par l’expression que l’on vient de trouver, on obtient $$x(2-x)=3$$Ce qui fait, après avoir distribué $x$ et rendu le tout égal à zéro$$\begin{array}{rl}2x-x^2& =3\\ \\ 0& =x^2-2x+3\end{array}$$Par symétrie, les deux solutions à l’équation quadratique correspondront aux deux nombres cherchées, $x$ et $y$. Ceux-ci sont donc $$x=\frac{2+\sqrt{{(-2)}^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}$$et $$y=\frac{2-\sqrt{{(-2)}^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}$$ce qui fait après simplifications$$x=\frac{2+\sqrt{-8}}{2}$$et$$y=\frac{2-\sqrt{-8}}{2}$$c’est-à-dire des nombres complexes que l’on réécrit comme$$x=\frac{2+\sqrt{8}i}{2}$$et$$y=\frac{2-\sqrt{8}i}{2}$$En se rappelant que$$\sqrt{8}=\sqrt{4}\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$on obtient en simplifiant$$x=1+\sqrt{2}i$$et$$y=1-\sqrt{2}i$$La somme des inverses est donc$$\frac{1}{1+\sqrt{2}i}+\frac{1}{1-\sqrt{2}i}$$On peut effectuer cette somme en mettant d’abord sous dénominateur commun $$\frac{1}{1+\sqrt{2}i}\cdot \frac{1-\sqrt{2}i}{1-\sqrt{2}i}+\frac{1}{1-\sqrt{2}i}\cdot \frac{1+\sqrt{2}i}{1+\sqrt{2}i}$$ce qui fait après simplifications$$\frac{1-\sqrt{2}i+1+\sqrt{2}i}{1-2\cdot i^2}$$et donc tout simplement$$\frac{2}{3}$$Impressionnant ! Mais aussi long et fastidieux !  Si l’on considère dès le départ la solution (la somme des inverses des deux nombres)$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$et que l’on effectue cette somme en mettant sur même dénominateur, on obtient$$\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}$$ $$\frac{x+y}{xy}$$On trouve la somme des deux nombres, connue, c’est $2$, au numérateur, et le produit des deux nombres, connu aussi, c’est $3$, au dénominateur ! Le nombre cherché est donc simplement $$\frac{2}{3}$$Astucieux !

Référence : Alfred S Posamentier et Charles T. Salkind (1996), Challenging Problems In Geometry