Triplets pythagoriciens à volonté…

Voici une méthode astucieuse pour produire des triplets pythagoriciens, c’est-à-dire des triplets de nombres entiers non-nuls qui satisfont la relation de Pythagore : $$a^2+b^2=c^2$$On choisit deux nombres entiers strictement positifs.  On appelle le plus grand de ces deux nombres $x$ et l’autre, le plus petit, $y$  .  On calcule $$a=2xy,b=x^2-y^2\text{et}c=x^2+y^2$$On obtient ainsi un triplet de nombres entiers qui satisfont la relation de Pythagore.  En effet, on observe que $$\begin{array}{rl}{a}^2+b^2& =(2xy{)}^2+{(x^2-y^2)}^2\\ \\ & =4x^2{y}^2+x^4-2x^2{y}^2+y^4\\ \\ & =x^4+2x^2{y}^2+y^4\\ \\ & ={(x^2+y^2)}^2\\ \\ & =c^2\end{array}$$

Voilà !